pdf математика / Теория вероятностей в примерах и задачах
.pdfразбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспедитором. Найти указанные величины.
196. В банк поступило 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, рав- на 0,0001. Найти: а) вероятность того, что при проверке будет обнаружен хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет; б) вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов; в) математическое ожидание и дисперсию числа ошибочно укомплектованных па- кетов.
197.Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по поч- товым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ, среднее чис- ло поступивших заказов и дисперсию числа поступивших заказов.
198.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии распреде- ления Пуассона (см. табл. 3.1).
199.Доказать, что число событий простейшего потока с интенсивностью µ , на-
ступивших за время t , представляет собой случайную величину X , распределён- ную по закону Пуассона с параметром λ = µt .
200. В диспетчерскую таксопарка поступает простейший поток заказов такси с интенсивностью µ = 1,2 заказамин . Найти вероятности следующих событий: а) за две
минуты не поступит ни одного заказа; б) за две минуты поступит ровно один за- каз; в) за две минуты поступит хотя бы один заказ.
201.Магазин имеет два входа, потоки покупателей на этих входах независимы
иявляются простейшими. Через первый вход проходит в среднем µ1 = 1,5 минчел. , а
через второй вход — µ2 = 0,5 минчел. . Определить вероятность того, что в наугад вы-
бранную минуту хотя бы один человек посетит магазин.
202. Найти функцию распределения интервала времени T между двумя после- довательными наступлениями события в простейшем потоке с интенсивностью µ .
§3.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений.
Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения мо- жет быть представлена в виде
x |
|
FX (x) = ∫ fX (z)dz . |
(3.24) |
−∞ |
|
При этом функция fX (x) называется плотностью распределения вероятностей (или, |
короче, |
плотностью распределения) случайной величины X . График плотности распределения случайной величины X называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) слу-
41
чайной величины X . Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непре- рывные случайные величины, при этом слово «абсолютно» будет опускаться.
Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначаю- щий эту случайную величину, опускается: f(x) ≡ fX (x).
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
для всех x : f(x) 0 ; |
(3.25) |
+∞ |
|
∫ f (z)dz = 1 ; |
(3.26) |
−∞ |
|
для всех точекx , в которых существует производная F ′(x): f(x) = F ′(x). |
(3.27) |
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное числовое зна- чение, равна нулю:
для всех x : P{X = x} = 0 . |
(3.28) |
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле
для всех c,d , таких, что c < d : |
(3.29) |
d |
|
P{c X d} = P{c < X d} = P{c X < d} = P{c < X < d} = F(d)−F(c) = ∫ f(x)dx . |
|
c |
|
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число |
|
+∞ |
|
MX = ∫ xf(x)dx . |
(3.30) |
−∞
Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.12) – (3.15), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.
Формулы (3.16) и (3.17) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид
+∞ |
|
DX = ∫ (x −MX)2 f(x)dx , |
(3.31) |
−∞ |
|
+∞ |
|
DX = ∫ x 2 f(x)dx −(MX)2 . |
(3.32) |
−∞
соответственно.
Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.20) – (3.22), что и дисперсия дискретной случайной величины.
Наиболее часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин при- ведены в табл. 3.2.
Способы задания и числовые характеристики непрерывных случайных величин
203. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРЕТО. Годовой доход случайно выбранного налогопла- тельщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения
|
0, |
|
x<1, |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
f (x) = |
|
|
||
|
|
|
, |
x 1. |
|
3,5 |
|||
|
|
|
||
x |
|
|
|
Найти значение параметра c , функцию распределения годового дохода, сред- ний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Опреде- лить размер годового дохода xmin , не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется
годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.
42
|
Основные законы распределения непрерывных случайных величин |
Таблица 3 . 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Название |
Краткое |
Обозначение случайной вели- |
Функция и плотность рас- |
Выражение матема- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
закона |
обозначе- |
чины, механизм её формиро- |
|
|
|
пределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
тического ожида- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
распреде- |
ние закона |
вания и обозначения парамет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния и дисперсии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ления |
|
|
|
|
|
|
|
ров закона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через параметры |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закона |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
равно- |
X R(a;b) |
X |
|
— |
|
случайная |
величина, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a;b], |
|
|
|
|
|
|
MX = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
мерный |
|
принимающая значения только |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
f(x) = b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x [a;b], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
из |
|
некоторого |
|
отрезка |
|
[a;b], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DX = |
|
(b−a) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x<a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
причём с содержательной точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зрения |
все |
значения внутри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −a |
, |
|
|
x [a;b], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
этого |
отрезка |
|
|
одинаково |
воз- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
x>b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
можны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
показа- |
X Exp(µ) |
X — интервал времени между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x<0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MX = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
тельный |
|
двумя |
последовательными |
на- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−µx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
|
|
, |
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(экспонен- |
|
ступлениями |
события в |
про- |
|
|
|
|
|
|
|
µe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DX = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x<0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
циальный) |
|
стейшем потоке с интенсивно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
стью µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−µx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нормаль- |
X N(a;σ) |
N(a,σ) = X1 + X2 + |
+ XN , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
(x −a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
MX = a, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
где X1,X2,…,XN |
— большое |
f(x) = σ |
2π e |
|
|
|
2σ |
= |
|
|
|
|
|
DX = σ2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
число независимых в совокуп- |
|
|
= |
1 |
ϕ(x |
−σa ), F(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ности случайных величин, воз- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t−a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
действие каждой из которых на |
= |
1 |
|
|
|
|
|
∫ e− |
|
2σ2 |
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
равномерно |
незначительно |
|
|
σ 2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
и равновероятно по знаку (со- |
1 |
+ Φ0 ( |
x−a |
), значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
гласно |
|
центральной |
предель- |
= |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ной теореме, см. §4.4) |
|
|
|
функций ϕ(x) и Φ0(x) при- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведены в табл. П.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
логнор- |
X LN(a;σ) |
LN(a;σ) = ln N(a;σ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ϕ( |
lnx−lna |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
мальный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
MX = aeσ |
|
/2, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx−lna |
|
|
|
|
|
|
DX=ae |
σ2/2 |
|
|
|
|
σ2/2 |
−1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x)= |
|
+Φ0( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
«Хи квад- |
X χ2 |
χ2 |
= N2(0;1)+ N2(0;1)+ |
|
+ |
при n |
30 значения χ2 |
, |
|
|
|
Mχn2 = n, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рат» с n |
n |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n;p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующие вероятно- |
|
|
|
Dχn2 = 2n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенями |
|
+Nn2(0;1), где |
N1(0,1), N2(0,1),…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свободы |
|
Nn (0;1) |
— независимые в сово- |
сти p = P{χn2 > χn2;p } , при- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
купности случайные величины |
ведены в табл. П.2, при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
N2( 2n−1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > 30 |
χn≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стью- |
X Tn |
|
|
N(0;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
при n |
30 значения tn;p , |
|
|
|
MTn = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дента с n |
|
Tn |
= |
|
|
|
|
, где |
N(0;1) и |
χn — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
соответствующие вероятно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенями |
|
|
|
χn/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DTn = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
независимые |
случайные |
вели- |
сти p = P{|Tn |> tn;p} , при- |
|
|
n−2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свободы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
чины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведены в табл. П.3, при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > 30 |
Tn ≈ N(0;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Фишера с |
X Fn1;n2 |
|
|
|
|
|
χn2 |
/n1 |
|
|
2 |
|
2 |
значения fn1;n2;p , соответ- |
|
MF |
|
|
|
|
= |
n2 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n1 и n2 |
|
Fn1;n2 = |
|
|
1 |
|
|
|
, |
где |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
χn1 |
χn2 |
ствующие вероятности |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n2−2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
χ2 |
/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
степенями |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p = P{F |
|
|
|
|
|
|
> f |
|
|
|
|
} , |
|
|
|
|
DFn1n2 = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
свободы |
|
— независимые случайные ве- |
|
|
|
|
|
|
|
n1;n2 |
|
|
|
|
|
n1;n2;p |
|
|
|
|
|
2n2(n |
|
+n |
|
−2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
личины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приведены в табл. П.4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(n |
−2)2(n |
|
|
−4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 > 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
43
∞ |
1 |
∞ |
||
РЕШЕНИЕ. Параметр c найдём из условия (3.26): 1 = ∫ |
f(x)dx = ∫ |
0dx +∫ |
c |
dx = |
x 3,5 |
||||
−∞ |
−∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
1 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, откуда c = 2,5 . Таким образом, |
|
|
|
|||
=− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
f(x) = |
2,5 |
||
|
|
2,5 |
|
|
|
|||||||
|
2,5 |
|
x |
|
|
2, |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
Функцию распределения найдем по формуле (3.24): F(x) =
x<1,
,x 1.
xx
∫ f (z)dz = ∫ 0dz = 0 при x < 1 ,
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F(x) = ∫ |
f(z)dz = ∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz = ∫ |
|
|
dt = − |
|
|
= 1 − |
|
при x |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3,5 |
|
2,5 |
1 |
x |
2,5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x<1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F(x) = 1− |
|
, |
x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
1 |
|
∞ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 2,5 |
|
|
5 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
MX = ∫ xf(x)dx =∫ x |
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
; DX = ∫ |
x |
|
f(x)dx |
−(MX) |
=∫ x |
|
|
dx |
− |
3 = |
||||||||||||||||||||||||||||||
x 3,5 |
1,5 |
x |
1,5 |
3 |
|
x 3,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2,5 |
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
5 2 |
|
|
5 2 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
= |
5 − |
|
= |
|
|
; |
σ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
≈ 1, 49 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,5 |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
По условию P{X |
xmin } = 1 −P{X < xmin} = 1 −F(xmin) = 0, 5 , |
откуда |
F(xmin) = 0,5 , |
т. е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − |
1 |
= 0,5 или x 2,5 |
= 2 , поэтому lnx |
min |
= |
ln 2 |
|
≈ |
0,693 |
|
≈ 0, 28 , значит, x |
|
≈e0,28≈ 1, 32 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xmin2,5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
204. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается слу- чайной величиной X с плотностью распределения
|
0, |
|
x < 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = c |
|
x 1. |
||
|
|
|
, |
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти значение параметра c , средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода xmin , не ниже
которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного нало- гоплательщика.
205. Плотность распределения случайной величины X
f |
|
x [0;2], |
(x) = ax, |
||
X |
0, |
x [0;2]. |
|
|
|
Найти значение параметра a , функцию распределения FX (x), MX и DX , по- строить графики функций fX (x) и FX (x). Вычислить P{| X −MX |< 0,5} двумя способами: используя fX (x) и FX (x), отметить эту вероятность на обоих графиках.
206. Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины с функцией распределения
|
|
|
0, |
x<−2, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F |
x |
+0,5, |
−2 x<2, |
|
(x) = |
4 |
|||
X |
|
1 |
x 2. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
44
207. Пусть X — непрерывная случайная величина, X = |
X−MX |
. Доказать, что |
|||
σ |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
|
M X = 0 , DX = 1 . |
Равномерное распределение |
|
|||
|
|
||||
208. Случайная |
величина |
X R[0;100]. Найти вероятности P{X > 10}, |
|||
P{40 < X < 90}, |
P{X = 50} и |
P{X > 50 | X < 80}, а также математическое ожи- |
дание и дисперсию этой случайной величины.
|
РЕШЕНИЕ. |
P{X > 10}= 1−P{X < 10}= 1−F(10)= 1− |
10−0 |
|
= 0,9;P{40 <X < 90}= F(90)−F(40)= |
|||||||||
|
100−0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(100−0)2 |
|
|
|
||
= |
90−0 |
− |
40−0 |
=0,5, P{X=50}=0, P{X>50 |X< 80}= |
3 |
; MX= |
0+100 |
=50 ; DX= |
= |
2500 |
. |
|||
100−0 |
100−0 |
8 |
2 |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
209.Найти вероятность того, что сумма значений случайной величины X , оп- ределённой в задаче 208, в двух независимо проведённых опытах превысит 80. За- дачу решить графически.
210.Все значения равномерно распределённой случайной величины располо- жены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание и дисперсию этой слу- чайной величины, а также вероятности её попадания на отрезок [6; 9] и в интервал
(3; 5).
211.При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна 0,1 г, а показания весов округляются при взвешивании до ближай- шего деления их шкалы, причём округления на любые значения от – 0,05 до 0,05 равновероятны. Оценить возможность возникновения ошибки более, чем на 0,03 г, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное откло- нение потерь.
212.Решить задачи 47 – 56, пользуясь равномерным распределением вероятно-
стей.
213.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии равномер- ного распределения (см. табл. 3.2).
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x 2 |
|
b |
b2 −a2 |
|
|
(b−a)(b+a) |
|
a+b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ. |
MX = ∫ |
xf (x)dx = ∫ x |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|||||||||||||||||||
b−a |
b−a |
2 |
|
2(b−a) |
|
|
2 (b−a) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
+∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b −a)(b2 + ab |
||||||||
2 |
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
a+b |
2 |
1 |
|
|
x 3 |
|
b |
|
|
|
|
b3 −a3 |
a+b 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x |
|
f(x)dx −(MX)2 =∫ x 2 |
|
|
dx − |
( |
2 ) |
= |
|
|
3 |
|
a = |
|
|
− |
|
2 |
= |
|
|
3(b −a) |
|||||||||||||||||||||||
|
b−a |
b−a |
3(b−a) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b−a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− |
a2 −2ab+b2 |
= |
4b2 +4ab+4a2 |
− |
3a2 −6ab+3b2 |
= |
a2 −2ab+b2 |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
214. ПРАВИЛО ТРЁХ |
|
СИГМ. |
Случайная |
величина |
|
X R(a; b). |
P{|X −MX|< 3σX }.
DX =
+ a2 )−
Найти
215.Случайные величины X R(a; b) и Y R(c; d) независимы. Найти M(XY )
иD(XY ).
Показательное распределение
216. Обычно папа ругает Петю за принесённую «двойку» около 6 мин. На этот раз нотация длится больше 6 мин. Найти математическое ожидание и дисперсию
45
длительности нотации. Определить, с какой вероятностью папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей минуты?
РЕШЕНИЕ. Длительность нотации X можно считать распределённой по показательному зако- ну. По условию обычная средняя длительность нотации (или её математическое ожидание) со-
ставляет MX = 6 мин. Но для показательного распределения MX = |
1 |
, откуда µ = |
1 |
= |
1 |
. Дис- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
MX |
6 |
|
|
персия длительности нотации при этом равна DX = |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
= 36 |
. Вероятность того, что папа |
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
/ |
6 |
||||||||||
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закончит «читать нотацию» в течение ближайшей (седьмой) минуты при условии, что нотация
длится больше |
6 мин, |
равна |
P{X<7 |X>6}= |
P{(X <7)∩(X>6)} |
= |
P{6<X<7} |
= |
F(7)−F(6) |
= |
|||
P{X>6} |
P{X>6} |
1−F(6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1−e−7/6 −(1−e−6/6 ) |
= |
e−1−e−7/6 |
= 1 −e−1/6 ≈ 0,154. |
|
|
|
|
|
|||
1−(1−e−6/6 ) |
e−1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217. Случайная величина X Exp(µ = 2). Определить вероятности P{X > 1}, P{X < 2}, P{X > −1}, P{X = 3} и P{X > 1 | X < 3}, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
218.Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фон- довой бирже раз в неделю. Найти вероятность того, что сегодня поступит приказ, если последний приказ поступил два дня назад. Поток приказов считать простей- шим.
219.Обычно совещание длится час. На этот раз за час оно не закончилось. Ка- кова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин. Длительность со- вещания распределена по показательному закону.
220.Длительность междугородних телефонных разговоров распределена при- мерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Опре- делить долю разговоров, которые длятся менее 1 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течение ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.
221.Время, необходимое для оформления договора, является случайной вели-
чиной, распределённой по показательному закону с параметром λ = 0,3 договора .
ч
Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее 7 ч. Найти сред-
нее время оформления договора. |
|
|
|
||
222. |
Случайная величина X Exp(µ). Найти P{a |
X b}. |
|
||
223. |
Случайная |
величина |
X Exp(µ). |
Найти: |
а) P{0 X τ}, |
б) P{t X t + τ | X t}.
224. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии показа- тельного распределения (см. табл. 3.2).
Нормальное распределение
225. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распре- делены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием a = 100 и средним квадратичным отклонением σ = 16 . Записать выражения для функции распределения коэффициента интеллекта и плотности его распределе- ния. Построить графики этих функций.
46
|
|
1 |
|
x |
− |
(z−100)2 |
|
1 |
x−100 |
|
|
1 |
|
− |
(x−100)2 |
|
1 |
ϕ( |
x−100 |
), |
|
|
|
∫ e |
|
|
|
|
|
||||||||||||
РЕШЕНИЕ. |
F(x) = |
|
512 |
dz = |
|
+ Φ0 16 |
, |
f(x) = |
|
e |
512 |
= |
|
|
||||||
16 2π |
2 |
16 2π |
16 |
16 |
||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
графики этих функций представлены на рис. 3.1.
а) |
б) |
Рис. 3.1. График функции распределения (а) и кривая распределения (б) в задаче 225
226.В условиях задачи 225 найти долю людей, у которых коэффициент интел- лекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120.
227.В условиях задачи 225 найти долю людей, у которых коэффициент интел- лекта отклонится от 100 менее, чем на 48.
228.В условиях задачи 225 найти вероятность того, что из шести независимо отобранных человек у двоих коэффициент интеллекта будет выше 92.
229.Случайная величина X N(a = 0;σ = 1). Построить кривую распределе-
ния этой случайной величины, график её функции распределения. Найти коор- динаты плотности распределения f (x) и функции распределения F(x) при
x = 1; −1; 2,25. Вычислить и указать на обоих графиках следующие вероятности:
P{X< 1}; P{X>−1}; P{|X|< 1}; P{|X |< 3}; P{0<X<3}.
230. |
Случайная величина |
X N(a = 1;σ = 1). Найти вероятности P{X > 2}, |
|||||||
P{X < 2}, P{0 < X < 2} и P{X < 2 | X > 0}. |
|
|
|
|
|||||
231. |
ПРАВИЛО |
ТРЁХ |
СИГМ. Случайная |
величина X N(a;σ). Найти |
|||||
P{|X −MX|< 3σX }. |
|
|
|
|
|
|
|
||
232. |
Доказать, |
что |
для |
случайной |
величины |
X N(a;σ) P{α<X<β} = |
|||
=P{α |
X<β}=P{α<X β}=P{α |
X β}=Φ0 ( |
β−a |
)−Φ0 ( |
α−a |
|
∆ |
||
σ |
σ |
), P{|X −a |<∆}= 2Φ0 |
σ . |
233. Случайная величина X N(a = 2;σ = 3). Найти вероятности P{X > 1},
P{−2 < X 2}, P{X < 2} и P{X < 2 | X > 0}. Записать «правило трёх сигм» для этой случайной величины.
234.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии нормаль- ного распределения (см. табл. 3.2).
235.Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределени- ем с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратичным отклонением
0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже
15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.; в) между 15,10 руб. и 15,40 руб.; г) между 15,05 руб.
и15,10 руб.
236.Цена некоторой акции распределена нормально. В течение последнего го- да в 20% рабочих дней цена была меньше 20 руб., а в 75% рабочих дней она была
47
больше 25 руб. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное откло- нение цены этой акции.
237.Из данных, полученных от руководства цеха при его проверке, следует, что брак составляет 5% всей выпускаемой продукции. По данным, полученным из технической документации, установлено, что размер продукции представляет со- бой случайную величину, распределённую по нормальному закону с математиче- ским ожиданием, равным 10 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 0,2 мм. Величина максимально допустимого отклонения размера детали от номи- нального, при котором деталь ещё считается годной, составляет 0,3 мм. Оценить с помощью вероятности достоверность информации, полученной от руководства цеха о качестве выпускаемой продукции.
238.При расследовании причин аварии было установлено, что она могла про- изойти из-за установки на автомобиль детали, размеры которой выходят за преде- лы допустимого интервала (15 мм; 25 мм). Известно, что размер деталей, посту- пающих на конвейер автозавода, представляет собой случайную величину, рас- пределённую по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 20 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 5 мм. Оценить вероятность того, что причиной аварии послужила установка на автомобиль детали нестан- дартного размера.
239.ПРАВИЛО ШЕСТИ СИГМ. Крупнейшие мировые корпорации при статисти- ческом контроле качества продукции переходят в настоящее время на правило шести сигм. Напомним, что правило трёх сигм означает, что некачественная про-
дукция (не попадающая в интервал (MX−3σX ; MX+3σX )) составляет
100 −99,73 = 0,27%, т. е. на каждые 10 000 единиц продукции допустимо изготов- ление не более, чем 27 некачественных. Пояснить, в чём заключается правило шес- ти сигм: какова допустимая доля некачественной продукции?
Логнормальное распределение
240.Указать недостатки использования нормального распределения для при- ближения распределений цен активов. Объяснить, как логнормальное распреде- ление используется для преодоления этих недостатков.
241.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии логнор- мального распределения (см. табл. 3.2).
242.Статистика по вкладам населения в некоторый банк говорит о том, что размер вклада случайно выбранного клиента распределён по логнормальному за- кону с параметрами a = 1 200 ден. ед., σ = 2 ден. ед. Определить: а) средний раз-
мер вклада; б) долю клиентов, размер вклада которых составляет не менее
1000 ден. ед.
243.Месячный доход случайно выбранной семьи из некоторой социальной группы описывается логнормальным законом распределения с математическим ожиданием 1 000 ден. ед. и средним квадратичным отклонением 600 ден. ед. Най- ти долю семей, имеющих доход менее 1 500 ден. ед.
|
|
|
Другие законы распределения |
|
||
244. |
Вычислить: |
а) P{χ2 >10,9}; |
б) P{χ2 |
< 28, 4}; в) P{8,26 χ2 |
< 31, 4}; |
|
|
|
|
20 |
20 |
20 |
|
г) P{χ2 |
|
> 10,9}; д) P{χ2 < 28, 4}; е) P{8,26 χ2 |
< 31, 4}. |
|
||
40 |
|
40 |
40 |
|
|
48
245.Найти: а) P{|T10|<2,23}; б) P{−1,81<T10<3,17}; в) P{−1,81<T40<3,17}.
246.Найти P{|F3;16|>3,24}.
247.ТРЕУГОЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕ-
ДЕЛЕНИЕ СИМПСОНА). Плотность распределе- ния случайной величины X изображена на рис. 3.2. Найти функцию распределения, мате- матическое ожидание и дисперсию этой слу- чайной величины.
Рис. 3.2. График плотности треугольно- го распределения
248. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины X , плотность распределения которой имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x<0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
, |
|
|
x |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
РЕШЕНИЕ. |
|
|
Очевидно, |
|
|
F |
|
x |
≡ 0 |
|
|
при |
|
x < 0 . |
|
|
|
|
При |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
0dr + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x)= ∫ |
f(r)dr = ∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
− |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
r |
|
|
2 |
|
x |
− |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
x 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+∫ |
|
r |
e |
|
|
2σ2 dr =∫ e |
|
(σ 2 ) |
2r |
dr |
=−∫ e |
|
(σ 2 ) |
|
d |
−( |
|
r |
|
) |
|
=−e |
|
(σ 2 ) |
|
|
0=−e 2σ2 +e0= 1−e |
|
|
2σ2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
σ |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
MX = ∫ |
rf(r)dr= ∫ r 0dr + ∫ |
|
r |
|
r |
e− |
|
dr=σ |
|
|
|
2 ∫ |
2 |
( |
r |
|
)2 e−( |
|
|
) |
d ( |
r |
|
)={замена |
t= |
r |
|
}= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
σ2 |
|
|
|
σ |
2 |
σ |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+∞ |
2 |
|
−t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
−t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
−t2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
−t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= σ |
|
2 ∫ |
|
|
|
|
= σ 2 |
∫ t 2te |
|
= −σ |
|
2 |
|
∫ t e |
|
|
) |
=−σ |
|
|
2 ∫ |
t de |
= {почастям}= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2t e |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
d(−t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+∞ +∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
∫ |
e |
|
|
= |
|
σ |
|
2 |
∫ |
e |
|
dt |
|
|
= |
|
|
{заменаu= 2t} |
= |
|
σ 2 |
∫ |
e |
|
2 |
|
|
|
du = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ 2 t e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
− |
u2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= σ |
2π |
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
du = σ |
2πΦ0(+∞) = σ |
|
|
|
2π |
|
|
|
= σ |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.4. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ, МОМЕНТЫ, МОДА, МЕДИАНА И КВАНТИЛИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Начальным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k -й степени случайной величины X :
ν (X) = M(Xk ), k = 0,1,2 …. |
(3.33) |
k |
|
Центральным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожида-
ние k -й степени отклонения случайной величины X от своего математического ожидания:
µ (X) = M[(X −MX)k ], k = 0,1, 2,…. |
(3.34) |
||
k |
|
|
|
Справедливы следующие выражения для центральных моментов: |
|
||
µ0(X) = ν0(X) = 1; |
(3.35) |
||
µ1(X) = 0 ; |
(3.36) |
||
µ (X) = ν |
2 |
(X)−ν2(X); |
(3.37) |
2 |
1 |
|
49
|
µ (X) = ν |
(X)− 3ν |
(X)ν |
2 |
(X) + 2ν3 |
(X) ; |
|
(3.38) |
|||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
µ (X) = ν |
4 |
(X)− 4ν |
(X)ν |
(X) + 6ν2 |
(X)ν |
2 |
(X)− 3ν4 |
(X). |
(3.39) |
||||||
4 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Производящей функцией случайной величины X называется функция от параметра t (вообще го-
воря, комплексного), равная
m |
X |
(t) = MetX . |
(3.40) |
|
|
|
Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначаю- щий эту случайную величину, опускается: m(t) ≡ mX (t).
Начальные моменты случайной величины X выражаются через производные её производя- щей функции1:
для всех k = 0,1,2,…: ν |
(X) = m(k)(0), |
(3.41) |
||
где m(k)(t) — k -я производная функции m |
|
k |
X |
|
X |
(t). |
|
|
|
X |
|
|
|
Если t = iu (где i = −1 ), то производящая функция переходит в характеристическую функ- цию, широко используемую в фундаментальной теории вероятностей и теории меры.
Производящая функция случайной величины обладает следующими свойствами: |
|
mcX (t) = mX (ct); |
(3.42) |
mX +Y (t) = mX (t)mY (t) |
(3.43) |
(здесь X,Y — независимые случайные величины, c — неслучайная постоянная).
В качестве показателя центра группирования значений случайной величины, наряду с мате- матическим ожиданием, используются также медиана и мода.
Медианой абсолютно непрерывной случайной величины X называется такое число MeX , что
P{X < MeX} = P{X > MeX} = 0,5 . |
(3.44) |
Медиана MeX дискретной случайной величины X (заданной рядом распределения (3.9) — это любое число, которое находится на отрезке [xl ; xl+1 ], определяемом из условий
l |
l+1 |
|
∑pi |
0,5; ∑pi > 0,5 , |
(3.45) |
i=1 |
i=1 |
|
и называемом медианным. В качестве медианы MeX обычно используют значение, получаемое линейной аппроксимацией:
|
x |
|
−x |
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||
MeX = xl + |
|
|
|
|
|
|
|
− ∑pi . |
(3.46) |
|
|
p |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
i=1 |
|
|
|||
|
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
||
Модой абсолютно непрерывной случайной величины |
X называется точка локального максимума |
|||||||||
плотности распределения: |
|
|
|
|
|
|
(x). |
|
(3.47) |
|
f (MoX) = max f |
|
|||||||||
X |
|
x |
|
|
X |
|
|
|
Модой дискретной случайной величины X называется значение этой случайной величины, соот- ветствующее наибольшей вероятности:
MoX = xi , такое, что pi |
= max pj . |
(3.48) |
|
j |
|
Распределения, имеющие одну моду, называются одномодальными.
Коэффициент асимметрии AX случайной величины X характеризует скошенность кривой рас-
пределения этой случайной величины относительно её математического ожидания и вычисляет- ся по формуле
A |
X |
= |
µ3(X) |
. |
(3.49) |
|
|||||
|
|
σ3 |
|
||
|
|
|
X |
|
1 Если эти производные существуют.
50