1.2. Основные понятия и характеристики надежности

1.2.1. Понятие случайных событий и случайных величин

Случайное событие – событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта.

Вероятность случайного события (количественная характеристика случайного события) – теоретическая частота событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.

Частота случайного события (статистическая вероятность события) – отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать то или другое значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть либо дискретной, либо непрерывной.

Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины – соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.

Существуют законы распределения:

1) Интегральный (функция распределения) – вероятность того, что случайная величина X может принимать значения меньше x.

(1.1)

2) Дифференциальный (плотность распределения вероятности случайной величины).

(1.2)

(1.3)

Величины, определяющие характер распределения случайной величины, называются параметрами законов распределения.

Математическое ожидание (среднее значение случайной величины):

(1.4)

Статистическое определение:

(1.5)

Дисперсия:

(1.6)

(1.7)

Дисперсия среднего значения:

(1.8)

1.2.2. Невосстанавливаемые элементы и системы

Технические системы, их подсистемы и элементы систем могут работать в режиме, когда восстановление со стороны ремонтного персонала возможно, и в режиме, когда это невозможно либо нецелесообразно. Поэтому для восстанавливаемых и для невосстанавливаемых элементов и систем применяются различные показатели надежности и различные методы расчета надежности.

Показатели надежности невосстанавливаемых объектов:

1) Вероятность безотказной работы объекта P(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени t.

Если F(t) – функция наработки на отказ, то P(t)=1-F(t).

P(t) обладает следующими свойствами:

а) P(0)=1 (предполагается, что до начала работы изделие является безусловно работоспособным);

б) (предполагается, что объект не может сохранить свою работоспособность неограниченно долго);

в) Если t₂ > t₁, то P(t₂) ≤ P(t₁) (вероятность безотказной работы – функция невозрастающая).

Статистически определить по результатам испытаний можно с помощью следующей формулы:

(1.9)

где N(t) – число исправных объектов в момент времени t, n(t) – число отказавших объектов к моменту времени t.

2) Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от t₁ до t₂:

(1.10)

(1.11)

3) Вероятность отказа Q(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t:

(1.12)

(1.13)

4) Вероятность отказа в интервале времени от t₁ до t₂:

(1.14)

(1.15)

5) Плотность распределения отказов f(t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t:

(1.16)

Статистическая оценка производится за интервал времениΔt, так как функция f(t) является дифференциальной:

(1.17)

можно рассматривать как среднее число отказов в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент из всех объектов, поставленных на испытания.

В связи с этим f(t) на практике обычно называют частотой отказов.

6) Интенсивность отказов λ(t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t с учетом числа объектов, работоспособных к моменту времени t:

(1.18)

(1.19)

можно рассматривать как среднее число отказов в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент, из всех объектов, продолжающих работать к этому моменту t. Отсюда видно, что λ(t) характеризует надежность объекта в момент t более полно, чем f(t), этим и объясняется более широкое применение на практике этого показателя.

Если известна плотность вероятности отказов, то нетрудно определить вероятность отказов или вероятность безотказной работы:

(1.20)

(1.21)

Если известна λ(τ), то

(1.22)

(1.23)

(1.24)

7) Среднее время наработки на отказ T определяется как математическое ожидание времени до отказа:

(1.24)

(1.25)

8) Дисперсия наработки до отказа Dt. Средняя наработка до отказа является точечной оценкой и не говорит ничего о характере распределения времени до отказа. Две совершенно различные функции P₁(t) и P₂(t) (рис. 1) могут характеризоваться одинаковыми значениями средней наработки на отказ

Рис. 1. Пример различной дисперсии

T₁=T₂. Чтобы различать такие случаи наряду с показателем T, используется показатель Dt – дисперсия наработки до отказа или его корень квадратный σ_t – среднеквадратическое отклонение наработки до отказа:

(1.26)

Дисперсия характеризует величину разброса наработки относительно среднего значения:

(1.27)

Где T_i – время до отказа i-го объекта.