Из (3), получим выражения для аппроксимации первой производной yi',учитывающие значения функции в двух симметричных относительнохiузлах:

)

(4)

.

Для вывода разностной формулы второй производной воспользуемся тем, что y'' = ( y' )', а в записи первой производной используем оба варианта представления производной в формулах (4).

(5)

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (1), получим:

Очевидно, что формула (6) будет верна только для внутренних узловх_i (i=1,2,…,n-1). Умножим (6) наh² и приведем подобные члены. В итоге получим

(7)

Введем дополнительные обозначения:

(8)

,

и запишем (7),используя обозначения (8).Отметим, что при этом необходимо изменить знак перед коэффициентомC _i .

(9)

Таким образом, мы получили систему уравнений (9), содержащую (n-1)линейное алгебраическое уравнение относительно(n+1) неизвестныхy_i (i =0, 1, 2, …,n) .

О

(10)

кончательное оформление системы уравнений выполняется при записи разностного аналога краевых условий задачи. Недостающие уравнения мы получаем из краевых условий:

Запишем эту систему для случая n= 5.

(11)

Полученная система линейных алгебраических уравнений имеет трехдиагональную матрицу. В первом уравнении этой системы коэффициенты А₀= 0,С₀= -1, аВ₀= 0. В пятом уравненииА₅= 0,С₅= -1, аВ₅= 0.Одним из эффективных методов решения систем уравнений такого типа являетсяметод прогонки.

Применение метода прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональными ленточными матрицами

Полученная нами система уравнений(11) является частным случаем систем уравнений с трехдиагональными ленточными матрицами. Ниже приведена общая форма записи таких систем:

Реализация метода прогонки в среде программы ms Excel Постановка задачи

Для разработки общей методики решения краевых задач в среде программы MS Excel рассматривается решение конкретного случая краевой задачи, определяемой уравнением (1),и коэффициентами

(13)

при граничных условиях

(14)

Запишем рассматриваемый пример при n равном 5. Таким образом, число узлов сетки равно 6, а формат системы соответствует (11).

Решение системы (12) ищется в виде

(15)

где _i, β_i - неизвестные прогоночные коэффициенты [4].

Значения коэффициентов _i и β_i, как показано в[4], вычисляются по формулам прямого хода метода прогонки. Запишем уравнение (15) дляi= 0:

(16)

Приведём первое уравнение системы (12)

к виду (16). Для этого перенесем член B₀Y₁в правую часть и разделим уравнение на –С₀ .

(17)

Сравнивая (16) и (17) получаем значения прогоночных коэффициентов α₀иβ₀.

(18)

Рассматривая остальные уравнения системы (12) получим общие рекуррентные формулы для коэффициентов α_iиβ_i.

(19)

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения (16) для i = n-1 и последнего уравнения системы (12):

(20)

Решая систему (20) и используя формулу (15) при i = n, находим выражение дляY_n и соответствующий ему коэффициент прогонкиβ_n :

(21)

О

(22)

пределив значениеβ_n, по формулам (15) находим в обратном порядке решение системы (12):

.

Как уже отмечено выше, в рассматриваемом нами случае системы (11), если следовать традиционной записи, использованной в (12),значениеА₀ = 0, С₀ =-1,а значениеВ₀ =0.Аналогично для последнего уравнения имеем значениеА_n = 0иС_n =-1, В_n =0.

Рассмотрим последовательность шагов решения на примере уравнения (1) с учетом (13), (14), приведенных выше.

Для того чтобы обеспечить в дальнейшем наглядность и понятность вычислений, заполним таблицу значениями функций p(x), q(x) и f(x),вычисленными в узловых точках приn=5. Для определения значенияhвыполним на листе Excel следующие операции (рис.1):

• в ячейки А1, С1, Е1иG1введём комментарии:'Х₀=', 'Х_k=', 'n=' и'h=',

• в ячейку В1введем значение аргументаХ₀равное 2,

• в ячейку D1введем значение аргументаХ_k равное 6,

• в ячейку F1введем значение аргументаn равное 5,

• в ячейку H1введем формулу"=(D1-B1)/F1"¹, определяющую значение шага между узлами формируемой сетки как

.

Рис. 1

• В ячейках второй строки таблицы оформим заголовок таблицы так, как это показано на рис. 1.

Определив основные параметры таблицы, заполним столбцы значениями в соответствии с заголовком таблицы, показанным на рис. 1. Для этого выполним следующие действия:

1. В ячейки А3:А8 введём индексы строк. Для этого в ячейку А3 введём цифру 0 – индекс первого узла. Переводим УМ ¹⁾ в правый нижний угол ячейки А3, ФЛКМ и, зафиксировав клавишу Ctrl, протянем УМ от ячейки А3 до ячейки А8.

2. В ячейку B3 вводим ссылку на ячейку с начальным значением аргумента Х₀: "=В1". Значение ссылки формируется, если подвести УМ к ячейке, на которую делается ссылка и сделать ЩЛК.

3. Заполняем ячейки столбца В, выполняя вычисление значений аргумента х в соответствии с формулой

Для этого в ячейку B4 вводим формулу "=В3+$H$1", которую протягиваем до ячейки B8, в которой достигается значение равное значению x_n = Х_k. (Для формирования абсолютной ссылки на ячейку Н1 после ЩЛК по ячейке Н1 следует нажать функциональную клавишу F4).

4. В ячейках от C3 до C8 вычисляем значения вспомогательной функции 1/(2 х_i + 1), входящей в знаменатели функций p(x), q(x) и f(x). Вводим в C3 формулу "=1/(2*B3+1)" и протягиваем эту формулу до ячейки C8;

5. ВячейкиD3, E3 и F3 записываем формулы, соответствующие (13), для вычисления значений функций p(x), q(x) и f(x). Запись этих формул при вводе их в ячейки таблицы имеет следующий вид: "=-2*C3", "= ‑12*C3*C3" и "=(3*B3+1)*C3*C3" соответственно. При протягивании этих формул по столбцам D, Е и F до восьмой строки таблица заполняется так, как показано на рис. 2.

6. Далее начинаем заполнение столбцов G, H, I и J значениями коэффициентов A_i, C_i, B_i и F_i в соответствии с форматом системы уравнений (11). В ячейки G3, H3, I3 записываем значения, определяемые форматом первого уравнения системы (11): A₀=0, C₀=-1, В₀=0. В ячейку J3 записываем ссылку на ячейку J1, в которой записано начальное значение F₀=Y₀: "=J1".

7. В ячейки G8, H8, I8 записываем значения, определяемые конечными условиями A₅=0, C₅=-1, В₅=0. В ячейку J8 записываем ссылку на ячейку L1, в которой записано начальное значение F_k= F₅ = Y_k :"=L1".

8. Далее заполняем столбцыG, H, I и J значениями коэффициентов A_i , C_i , B_i и F_i. В ячейку G4 вводим формулу "=1-D4*$H$1/2", соответствующую формуле

для вычисления коэффициента A₁. После чего протягиваем эту формулу до ячейки G7.

9. Аналогично в ячейкуН4 вводим формулу для вычисления коэффициента С₁: "2-Е4*$H$1*$H$1", а в ячейку I4 вводим формулу для вычисления коэффициента B₁: "1+D4*$H$1/2", реализуя соответствующие формулы

Протягиваем эти формулы до ячеек Н7 и I7.

10. Вячейках столбцаJ формируем вектор правых частей системы уравнений (11). В ячейку J4 вводим формулу “=F4*$H$1*$H$1”, соответствующую формуле F_i = f_ih². Протягиваем эту формулу до ячейки J7. В результате получаем таблицу, показанную на рис. 3. Следует отметить, что в столбцах G, H, I и J этой таблицы записаны элементы матрицы, решаемой системы уравнений (11).

Рис. 3

11. Используя вычисленные значения коэффициентов A_i, C_i, B_i и F_i, находим в соответствии с формулами (18) и (19) значения коэффициентов _i и _i. В ячейку K3 запишем формулу для вычисления ₀ : "=I3/H3", а в ячейку L3 формулу для вычисления ₀.: "=-J3/H3". И далее в ячейки K4 и L4 вводим формулы, соответствующие (19), для вычисления коэффициентов 

                ₁ :"=I4/(H4-K3*G4)", и ₁: "=(G4*L3‑J4)/( H4‑K3*G4)".

Протягиваем эти формулы до ячеек K8 и L8 соответственно. Результаты вычисления показаны на рис. 4.

12. Дальнейшие вычисления выполняются в столбцеМ по формулам обратного хода (21) и (22). В ячейку М8 введем формулу "=L8", представляющую ссылку на значение b_n. В ячейку М7 введем формулу "=L7+K7*M8", соответствующую и протянем ее до ячейки М3. Результаты вычислений показаны на рис. 5.

13. Построим график функции Y(X), используя возможности мастера диаграмм программы MS Excel. Для этого выделим ячейки столбца значений функции Y(X) от ячейки М3 до М8 и выполним процедуру создания диаграммы, используя средства "мастера диаграмм" программы MS Excel. Окончательный результат показан на рис. 5.