Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Методические указания по выполнению лабораторной работы в курсе “Информатика” для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей

Санкт-Петербург

2005

УДК 681.3

Решение краевой задачи методом конечных разностей: Методические указания по выполнению лабораторной работы в курсе “Информатика” для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей/ СПбГАСУ; Сост.: Любимов Е.Б., Любимов Б.Е., Мовсесова Л. В. СПб., 2005. 16 c.

В этой работе рассматриваются основные вопросы и примеры решения задач, приводящихся к формату краевой задачи и рассматриваемых при изучении раздела "Вычислительная математика" в курсе "Информатика". Пособие предназначено для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения.

Табл. 4. Ил. 5. Библиогр. 4 назв.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Б. Г. Вагер (СПбГАСУ)

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Составители: Любимов Евгений Борисович,

Любимов Борис Евгеньевич,

Мовсесова Лия Витальевна

Редактор

Корректор

Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Основные понятия, используемые в постановках краевых задач

В практике строительных расчетов многие математические модели, используемые для расчета конструкций, приводятся к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, имеющим следующий вид:

(1)

,

где x - параметр, определяющий некоторую координату исследуемого объекта, p(x), q(x), f(x) –заданные функции.

К примерам задач, приводящих к уравнениям вида (1),можно отнести задачи расчетов различных балочных конструкций.

Для решения задачи, определяемой (1),необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменнойx. Условия, определяющие состояние объекта в заданных точкахx,называютсяграничными[1, 2, 4].

Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом:

(2)

где Y₀ , Y_k–фиксированные числовые значенияY₀ иY_k, определяющие значения исследуемой координаты.

На конкретном примере рассмотрим алгоритм решения стационарной краевой задачи для объектов, определяемых математическими моделями представленными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка вида (1), (2).

Одним из численных методов, применяемых для решения таких уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом сеток. Основой этого метода является замена непрерывной области пространства изменения аргумента хна дискретное множество – "сетку" точекх_i, в которых определяются значения функцииy(x_i ) [4].

При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов:

1. дискретизация области изменения аргумента х;

2. переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно-разностной модели исследуемого объекта;

3. оформление разностного аналога краевых условий задачи;

4. решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим последовательно выполнение этих этапов для разработки алгоритма решения конкретной краевой задачи.

Во-первых, для дискретизации области изменения аргумента хинтервал изменениях разделим наn равных частей. При этом формируется сетка с(n+1) равноотстоящими узлами. Расстояние между узлами (шаг сетки) равенh = (x_k  ‑ x₀ )/n, а значениях_i в узлах сетки легко вычисляются по формулех_i = х₀ + i · h (i=0,1,2,. . . ,n).

Второй этап перехода от непрерывного дифференциального уравнения (1) к конечно-разностной модели реализуется на базе классического определения производной как предела:

(3)

,