§ 42. Характеристики планарных графов

Приводимые ниже характеристики графов представля­ют ту или иную меру непланарности.

Род графа.Мы уже знаем, что планарные графы и только они укладываются как на плоскости, так и на сфере. Возникает вопрос: можно ли уложить пеплапарный граф на какой-либо другой поверхности?

У твердительный ответ на этот вопрос получаем сразуже, если нарисуем граф на плоскости и для каждого пе­ресечения двух ребер, добавив к плоскости ручку, прове­дем одно ребро по ручке, а другое — под ней. На рис. 42.1 изображена укладка графа К₅ на плоскости, к которой добавлена одна ручка, т. е. построен «мост». Тем самым очевидно, что граф К₅ (и Кз,з) можно уложить на торе, т. е. на сфере с одной ручкой (рис. 42.2).

Графы, которые нельзя уложить на плоскости, номожно уложить на торе, называются тороидальными.

На рис. 42.3 изображена укладка графа Кз,з на торе.

Укладку тороидального графа на торе удобно изобра­зить с помощью прямоугольника, в котором отождествле­ны обе пары противоположных сторон. На рис. 42.4—42.7 изображены такие укладки тороидальных графов К₅, Gз,з, К₇, K_4,4 соответственно.

Определим теперь род Y(G) графа G как наименьшее число ручек, которые необходимо добавить к сфере, что­бы можно было граф G уложить на полученной таким образом поверхности.

Тем самым, поскольку графы К₅ Кз,з, K₇,K_4,4 непла- нарны, то y(K₅) = Y(K_3,3) = Y (K₇) = Y(К_4,4)=1. Очевидно, что 1) Y(G) = 0 тогда и только тогда, когда граф G планарный;

2) Y(G)=1 тогда и только тогда, когда граф G тороидальный.

Приведем без доказательств некоторые известные результаты о роде графа (см., например, [7], [28]):

если G — связный (n, m)-граф (здесь и далее ]х[ — наименьшее целое число nx);

если B₁,B₂, .., B_k — система всех блоков графа G, то

где Q_n — n-мерный куб.

Число скрещиваний. Числом скрещиваний cr(G) графа

G называется наименьшее число пересечений, получаемых при

изображении графа на плоскости (поня­тие пересечения

относится к пересечению ровно двух ребер). Очевидно,

что сг(С) = 0 тогда и только тогда, когдa G — планарный граф.

Приведем здесь следующие известные оценки для числа скрещиваний:

причем при р  6 и любом q

Толщина графа. При изготовлении печатных схем соединительные провода наносятся на одну сторону непроводящей пластинки. Поскольку печатные проводники нe изолированы, то они не должны пересекаться. Поэтомy важно знать, является ли планарным граф, в котором роль вершин играют приборы, а ребрами являются соединения. Если такой граф непланарный, то возникает

вопрос: какое наименьшее число пластинок необходимо (ля комплектования всей схемы (сети)? Таким образом, мы приходим к понятию толщины графа. Толщиной t(G) графа G называется наименьшее число его планарных подграфов, объединение которых дает граф G. Очевидно, сто толщина планарного графа равна 1. Для толщины связного (n, m)-графа справедливы оценки

Действительно, первое неравенство сразу вытекает из следствия 37.3, а второе следует из первого, если учесть легко показываемое равенство

где а, b — положительные целые числа.

Непосредственным следствием первого неравенства выделяется следующая оценка толщины полного графа

(ввиду того, что т =(ⁿ₂) — целое число):

Оказывается,что

если n 4 (mod 6) и n  9.

Известны также следующие формулы для толщины (доказательство можно найти в [28]):

заисключением,

где Q_n — n-мерный куб

за исключением тех случаев, когда р <q, pq — нечетное и существует такое целое число k, что q=[2k(p-2)/(p-2k)].

Из последней формулы, используя равенство (1), по­лучаем формулу

Искаженность графа. Искаженностъю sk(G) графа G называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к планарному графу. Для искаженности полно­го графа справедлива формула

которая непосредственно вытекает из следствия 38.3.