Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7. Кратные интегралы

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

346.96 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

На http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.

Материалы студентам технических вузов!

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2.Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3.Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6.Замена переменных в двойном интеграле.

7.Якобиан, его геометрический смысл.

8.Двойной интеграл в полярных координатах.

9.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10.Тройной интеграл в сферических координатах.

§7.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1.Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

xm yndxdy 0,

x2 y2 R2

если m и n - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно.

2. С помощью теоремы о среднем найти

lim

f x,y dxdy,

R 0 R

где f x,y - непрерывная функция.

3. Оценить интеграл

dxdydz

, x02 y02

z02

R2 ,

x x

y y

z z

x2 y2 z2 R2

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4. Вычислить двойной интеграл

f x,y dxdy,

		D
если область D - прямоугольник {a x b,			c y d }, а		f x,y Fxy x,y .
5.	Доказать равенство
				b	d
		f x g y dxdy f x dx g y dyб
		D		a	c
если область D - прямоугольник {a x b,			c y d }.
6.	Доказать формулу Дирихле
	a	x	a	a
	dx f x,y dy dy f x,y dx,					a 0.
	0	0	0	y
7.	Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство
		a y		a

dy f x dx a x f x dx.

8. Какой из интегралов больше

1 1 1 1 1 x 1 x y

dx dy f x,y,z dz			или	dx dy			f x,y,z dz,
0	0	0		0	0	0

если f x,y,z 0?

§ 7.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

1 0 0 0 1 0 2 0

1.1.	dy			f		dx dy						f	dx.		1.2. dy						f dx dy						f	dx.
	2		2 y					1			y						0			y		1				y

			y						2 y2
	1																1		y			2		2 y
	1						2										1		y			2		2 y
1.3. dy f				dx dy							f	dx.			1.4. dy f						dx dy					f	dx.
	0		0			1			0								0	0				1		0
	1			0					0	0				1			arcsin y					1		arccosy
	1			0					0	0				1	2		arcsin y					1		arccosy
1.5.			dx			f dy			dx f				dy.	1.6.		dy				f	dx	dy					f	dx.
		2		2 x	2				1		x			0			0					1	2		0
				2 x

1 2 y 0 y 1 0 e ln y

1.7.	dy									f	dx dy									f		dx.				1.8. dy									f				dx dy															f				dx.
2				0									1			0												0					y										1						1
																		x2
	1					2 x2								0																							0												0							0
	1					2 x2								0																3							0												0							0
1.9.				dx							f	dy dx f										dy.				1.10.		dx														fdy dx																				fdy.
			2					0						1		0												2									4 x			2											3							4 x		2	2
																																					4 x																					4 x			2
																															3																	2 y
	1			1									e			1												1			3	y											2					2 y
1.11. dx									f		dy dx								f		dy.					1.12. dy									f			dx dy																f		dx.
	0			1 x2								1			lnx													0			0												1						0
	4				sin y								2					cosy										1							0										0								0
1.13.				dy							f	dx dy									f		dx..			1.14. dx													f dy dx																		f dy.
	0							0					4						0									2			2 x																1						3
	0							0					4						0									2			2 x																1						3		x

	1				y							e		1														1			0														2								0
1.15. dy									f		dx dy							f		dx.						1.16. dy											f			dx dy																			f	dx.
	0			0								1		ln y														0						y											1									2 y
	1			0												0												1			y2												2					2 y
	1			0									2			0												1			y2												2					2 y
1.17. dy								f			dx dy										f		dx.			1.18. dy f												dx dy																f		dx.
	0			y								1						2 y2										0			0												1						0
								0						2							0					1		0													0				0
		3						0						2							0					1		0													0				0
1.19.	dx											f dy dx													f	dy. 1.20. dy					f				dx dy														f				dx.
	0					4 x				2	2				3							4 x		2		2	2 y															1			3		y
						4 x					2											4 x
																															x2
	1			y								e		1														1																						2 x2
	1			y								e		1														1																2						2 x2
1.21. dy f										dx dy						f			dx.							1.22. dx f												dy dx																		f dy.
	0			0								1		ln y														0			0												1						0
	4				sinx								2					cosx										1									0																0			0
1.23.				dx						f		dy dx									f		dy.			1.24.					dy												f			dx dy f																dx.
	0							0					4						0											2							2 y				2												1						y
																																					2 y
				x2																											2
	1											2		2 x																						4 x2													2										4 x2
	1											2		2 x															3							4 x2													2										4 x2
1.25. dx f										dy dx								f	dy.							1.26.		dx														f	dy						dx												f	dy.
	0			0								1		0														0							0																	3				0

	1			0								2				0										1	x																2 x2
	1			0								2				0										1	x											2					2 x2
1.27. dx									f		dy dx									f		dy.				1.28. dx f dy											dx										f				dy.
	0						x					1					2 x									0	0										1						0

2 y2

2 x

1.29. dy

f dx dy

f dx.

1.30. dx

f dy dx

f dy.

4 x2

1.31.

f dy

f dy.

Задача 2. Вычислить.

12x2 y2

16x3 y3 dxdy;

9x2 y2 48x3 y3 dxdy;

2.1.

2.2.

D: x 1, y x2, y

D: x 1, y

, y x2.

36x2 y2

96x3 y3 dxdy;

18x2 y2 32x3 y3 dxdy;

2.3.

2.4.

D: x 1, y 3

, y x3.

D: x 1, y x3, y 3

27x2 y2

48x3y3 dxdy;

18x2 y2 32x3 y3 dxdy;

2.5.

2.6.

D: x 1, y x2, y 3

D: x 1, y 3

, y x2.

18x2 y2

32x3 y3 dxdy;

27x2 y2 48x3y3 dxdy;

2.7.

2.8.

D: x 1, y x3, y

D: x 1, y

, y x3.

4xy 3x2 y2 dxdy;

12xy 9x2 y2 dxdy;

2.9.

2.10.

D: x 1, y x2, y

D: x 1, y

, y x2.

8xy 9x2 y2 dxdy;

24xy 18x2 y2 dxdy;

2.11.

2.12.

D: x 1, y 3

, y x3.

D: x 1, y x3, y 3

12xy 27x2 y2 dxdy;

8xy 18x2 y2 dxdy;

2.13.

2.14.

D: x 1, y x2, y 3

D: x 1, y 3

, y x2.

	4		9		2		2
		xy		x		y	dxdy;
		xy		x		y	dxdy;
2.15. D	5		11

D: x 1, y x3, y x.

24xy 48x3y3 dxdy;

2.17.D

D: x 1, y x2, y x.

4xy 16x3 y3 dxdy;

2.19.D

D: x 1, y 3x, y x3.

44xy 16x3 y3 dxdy;

2.21.D

D: x 1, y x2, y 3x.

xy 4x3y3 dxdy;

2.23.D

D: x 1, y x3, y x.


			2		2	25		4		4
		6x		y			x		y	dxdy;
		6x		y		3	x		y	dxdy;
2.25.	D					3
	D: x 1, y x2, y											.
	D: x 1, y x2, y										x	.
			2		2	50		4		4
		3x		y			x		y	dxdy;
		3x		y		3	x		y	dxdy;
2.27.	D					3

D: x 1, y 3x, y x3.

54x2 y2 150x4 y4 dxdy;

2.29.D

D: x 1, y x2, y 3x.

54x2 y2 150x4 y4 dxdy;

2.31.D

D: x 1, y x3, y x.

Задача 3. Вычислить.

	4		2		2
		xy 9x		y		dxdy;

2.16. D	5
D: x 1, y							, y x3.
						x

6xy 24x3 y3 dxdy;

2.18.D

D: x 1, y x, y x2.

4xy 16x3 y3 dxdy;

2.20.D

D: x 1, y x3, y 3x.

4xy 176x3 y3 dxdy;

2.22.D

D: x 1, y 3x, y x3.

4xy 176x3 y3 dxdy;

2.24.D

D: x 1, y x, y x3.

9x2 y2 25x4 y4 dxdy;

2.26.D

D: x 1, y x, y x2.

9x2 y2 25x4 y4 dxdy;

2.28.D

D: x 1, y x3, y 3x.

xy 9x5 y5 dxdy;

2.30.D

D: x 1, y 3x, y x2.

yexy/2dxdy;

3.1.D

D: y ln2, y ln3, x 2, x 4.

ycosxy dxdy;

3.3.D

D: y /2, y , x 1, x 2.

ysinxy dxdy;

3.5.D

D: y /2, y , x 1, x 2.

4ye2xydxdy;

D
3.7.	1
D: y ln3, y ln4, x		, x 1.

2

ycos2xy dxdy;

3.9.

D: y , y , x 1, x 1. 2 2

12ysin2xy dxdy;

3.11.

D: y , y , x 2, x 3.

yexy/4dxdy;

3.13.D

D: y ln2, y ln3, x 4, x 8.

2ycos2xy dxdy;

3.15.

D: y , y , x 1, x 2. 4 2

y2 sin	xy	dxdy;
	2
3.2. D

D: x 0, y , y x. 2

y2e xy/4dxdy;

3.4.D

D: x 0, y 2, y x.

y2 cos xy dxdy;
3.6. D	2

D: x 0, y 2, y x2.

4y2 sinxy dxdy;

D
3.8.
3.8.
D: x 0, y		, y x.
D: x 0, y	2	, y x.
	2

y2e xy/8dxdy;

3.10.

D: x 0, y 2, y x. 2

y2 cosxy dxdy;

3.12.D

D: x 0, y , y x.

y2 sin2xy dxdy;

3.14.D

D: x 0, y 2 , y 2x.

y2e xy/2dxdy;

3.16.D

D: x 0, y 2, y x.

ysinxy dxdy;

3.17.

D: y , y 2 , x 1, x 1. 2

8ye4xydxdy;

3.19.

D: y ln3, y ln4, x 1, x 1. 4 2

ycosxy dxdy;

3.21.D

D: y , y 3 , x 12, x 1.

ysin2xy dxdy;

3.23.D

y2 cos2xy dxdy;

D
3.18.				x

D: x 0, y			, y		.
	2
		2

3y2 sin	xy	dxdy;
3y2 sin	2	dxdy;
D	2
3.20.					2
D: x 0, y			4	, y	2	x.
D: x 0, y		3		, y	3	x.
		3			3

y2e xy/2dxdy;

3.22.

D: x 0, y 1, y x. 2

y2 cosxy dxdy;

3.24.D

D: y 2, y 3 2, x 12, x 2.

6yexy/3dxdy;

3.25.D

D: y ln2, y ln3, x 3, x 6.

ycos2xy dxdy;

3.27.D

D: x 0, y , y 2x.

y2 sin xy dxdy;
3.26. D	2

D: x 0, y , y x.

y2e xy/8dxdy;

3.28.D

D: y 2, y 3 2, x 12, x 2.

3ysinxy dxdy;

3.29.D

D: y 2, y 3 , x 1, x 3.

12ye6xydxdy;

3.31. D

D: y ln3, y ln4, x 16, x 13.

Задача 4. Вычислить.

D: x 0, y 4, y 2x.

y2 cos xy dxdy;

3.30.D 2

D: x 0, y 2 , y 2x.

2y2exy			dx dy dz;
V
4.1.	x 0,			y 1, y x,
V				z 1.
	z 0,			z 1.
y2ch 2xy						dx dy dz;
V
4.3.	x 0, y 2, y 4x,
V				z 2.
	z 0,			z 2.
x2sh 3xy						dx dy dz;
V
4.5.	x 1,		y 2x, y 0,
V
	z 0, z 36.
	2
y		cos			xy dx dy dz;
y		cos	4		xy dx dy dz;
V			4
4.7.	x 0, y 1, y x 2,
	x 0, y 1, y x 2,

Vz 0, z 2.

y2e xy dx dy dz;

4.9.	x 0, y 2, y 4x,
V
	z 0, z 1.
y2ch 2xy dx dy dz;
V
4.11.	x 0,	y 1, y x,
V		z 8.
	z 0,	z 8.
y2exy 2		dx dy dz;
V
4.13.	x 0, y 2, y 2x,
V		z 1.
	z 0,	z 1.

x2zsin xyz dx dy dz;

	4.2.	x 2,	y , z 1,
	V		y 1, z 0.
		x 0,	y 1, z 0.
	8y2z e2xyz dx dy dz;
	V
	4.4.	x 1, y 2, z 1,
	V
		x 0, y 0, z 0.
y2zcos xyz			dx dy dz;
V
4.6.	x 1, y 2 , z 2,
V			z 0.
	x 0, y 1,		z 0.

x2zsin

4.8.

x 1,

x 0,

xyz dx dy dz; 4

y 2 , z 4, y 0, z 0.

2y2z e2xyz dx dy dz;

4.10.	x 1,	y 1,			z 1,
V						z 0.
	x 0, y 0,					z 0.
x2z sh xyz						dx dy dz;
V
4.12.	x 2,	y 1,				z 1,
V		y 0,				z 0.
	x 0,	y 0,				z 0.
y2zcos			xyz	dx dy dz;
y2zcos				dx dy dz;
V		3
4.14.	x 3, y 1, z 2 ,
V	x 3, y 1, z 2 ,
V		y 0,				z 0.
	x 0,	y 0,				z 0.

y	2		xy	dx dy dz;
		cos
			2
V

4.15.

x 0, y 1, y x,

Vz 0, z 2 2.

y2cos xy dx dy dz;

4.17. x 0, y 1, y 2x,

V z 0, z 2.

x2sh 2xy dx dy dz;

4.19.	x 1, y x, y 0,
V			z 8.
	z 0,		z 8.
y2ch xy dx dy dz;
V
4.21.	x 0,		y 1, y x,
V			z 2.
	z 0,		z 2.
	2
x		cos		xy	dx dy dz;
x		cos	2	xy	dx dy dz;
V			2
4.23.	x 2, y x, y 0,
V	x 2, y x, y 0,
V			z .
	z 0,		z .
x2cos xy					dx dy dz;
V
4.25.	x 1, y 2x, y 0,
V

z 0, z 4 .

y2ch 3xy dx dy dz;

V
4.27.	x 0, y 2, y 6x,
V		z 3.
	z 0,	z 3.

x2z sh xyz dx dy dz;

4.16.	x 1,	y 1, z 1,
V		y 0, z 0.
	x 0,	y 0, z 0.
2x2z sh 2xyz dx dy dz;
V
4.18.	x 2, y 1		2, z 1 2,
V		y 0,	z 0.
	x 0,	y 0,	z 0.

2xyz

x z sin 2 dx dy dz;

4.20.

x 1, y 4, z ,

x 0, y 0, z 0.

x2z ch xyz dx dy dz;

4.22.	x 1,			y 1,		z 1,
V				y 0, z 0.
	x 0,			y 0, z 0.
y2zcos					xyz	dx dy dz;
y2zcos						dx dy dz;
V				9
4.24.	x 9, y 1, z 2 ,
V	x 9, y 1, z 2 ,
V				y 0, z 0.
	x 0,			y 0, z 0.
y		2		xyz
			z ch			dx dy dz;
			z ch			dx dy dz;
V				2
4.26.	x 2, y 1, z 2,
V	x 2, y 1, z 2,
V				y 0, z 0.
	x 0,			y 0, z 0.
2y2z ch 2xyz dx dy dz;
V
4.28.			1
V	x			, y 2, z 1,
	x			, y 2, z 1,
			2
				y 0, z 0.
	x 0,			y 0, z 0.

x2sin 4 xy dx dy dz;

4.29.	x 1, y x 2, y 0,
V		z 8 .
	z 0,	z 8 .

x2sh xy dx dy dz;

4.31.	x 2, y x 2, y 0,
V
	z 0, z 1.
	Задача 5. Вычислить.

x dx dy dz;

V
5.1. V : y 10x, y 0,	x 1,
z xy, z 0.

15 y2 z2 dx dy dz;

5.3.V : z x y, x y 1,

x0, y 0, z 0.

1 2x3 dx dy dz;

5.5. V : y 9x, y 0, x 1,

z xy, z 0.

y dx dy dz;

V
5.7. V : y 15x, y 0,	x 1,
z xy, z 0.

8y2z e xyz dx dy dz;

V
4.30.	x 2, y 1, z 2,
V		z 0.
	x 0, y 0,	z 0.

				dx dy dz									;
					x			y			z	4	;
V					x			y			z
		1
		1		3				4			8
				3				4			8
5.2. V :	1		x				y		z	1,
5.2. V :	1									1,
	3					4			8
	x 0, y 0, z 0.
		3x 4y										dx dy dz;
		V
5.4. V : y x,									y 0,					x 1,

z 5 x2 y2 , z 0.

27 54y3 dx dy dz;

5.6. V : y x, y 0, x 1,

z xy, z 0.

			dx dy dz							;
				x		y		z	5
V
		1
			16		8			3

5.8. V :		x		y	z		1,
	16				3
			5
	x 0,			y 0, z 0.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по вычшей математике (типовые расчеты) Кузнецов Л.А

#
28.03.2015393.74 Кб142. Дифференцирование.PDF
#
28.03.2015261.15 Кб143. Графики.PDF
#
28.03.2015395.12 Кб134. Интегралы.PDF
#
28.03.2015276.58 Кб245. Дифференциальные уравнения.PDF
#
28.03.2015336.05 Кб186. Ряды.PDF
#
28.03.2015346.96 Кб157. Кратные интегралы.PDF
#
28.03.2015340.55 Кб148. Векторный анализ.PDF
#
28.03.2015281.75 Кб139. Аналитическая геометрия.PDF