Архив WinRAR / к2_Строение и механические свойства твердых тел

1. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом:

Найдите объем примитивной ячейки этой решетки.

2. Зная постоянную а, определите межплоскостные расстояния d₁₀₀, d₁₁₀ и d₁₁₁ для объемноцентрированной кубической решетки. Изобразите соответствующие плоскости на рисунке.

3. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите формулу для их теоретической прочности на сдвиг. Чем объясняется различие между теоретической и реальной прочностью кристаллов на сдвиг?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Покажите, что для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой отношение постоянных решетки с/а = 1,633.

5. Однородный медный стержень длиной l = 1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разрушается? Предел прочности меди равен 245 МПа, ее плотность – 8600 кг/м³.

6. Пользуясь общей формулой d = 2/G_hkl, покажите, что межплоскостное расстояние d для системы плоскостей (hkl) в простой кубической решетке с постоянной а определяется как .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Определите число элементарных ячеек в объеме V = 1 м³ кристалла меди (гранецентрированная решетка кубической сингонии, молярная масса равна 64 г/моль, плотность равна 8,93 г/см³).

8. Определите параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 нм.

9. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите закон Гука, связывающий механическое напряжение  и относительное удлинение  кристаллического образца под действием этого напряжения.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Найдите плотность кристалла неона (при 20 К), если известно, что его решетка – гранецентрированная, кубической сингонии. Постоянная этой решетки при температуре 20 К равна 0,452 нм. Молярная масса неона равна 20 г/моль.

11. Зная постоянную а, определите межплоскостные расстояния d₁₀₀, d₁₁₀ и d₁₁₁ для гранецентрированной кубической решетки. Изобразите соответствующие плоскости на рисунке.

12. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов (исходя из оценки сил молекулярного взаимодействия), получите формулу для их теоретической хрупкой прочности. Чем объясняется различие между теоретической и реальной хрупкой прочностью кристаллов?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13. Определите параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность кристалла кальция равна 1,5510³ кг/м³. Молярная масса кальция равна 4010^–3 кг/моль.

14. Зная постоянную кристаллической решетки CsCl (a = 4,11 A; решетка простая, кубическая), найдите межплоскостные расстояния d₁₀₀, d₁₁₀, d₁₁₁ и d₁₃₂. Изобразите соответствующие плоскости на рисунке.

15. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите формулу для температурной зависимости коэффициента диффузии примесных атомов по междоузлиям.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. Найдите плотность кристалла NaCl, если постоянная решетки NaCl а=5,63 A, молярная масса натрия равна 23 кг/кмоль, а молярная масса хлора – 35,5 кг/кмоль. Кристалл NaCl имеет ГЦК решетку.

17. Стальная проволока диаметром d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии l = 2,0 м друг от друга. К середине проволоки (в точке О) подвесили груз массой т = 0,25 кг. На сколько сантиметров опустится при этом точка О? Модуль Юнга для стали E = 200 ГПа.

18. Используя понятие вектора обратной решетки , выведите общую формулу для расстояния d_hkl между соседними атомными плоскостями, которые характеризуются индексами Миллера (hkl).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19. Найдите постоянную решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами кристалла вольфрама (решетка объемно-центрированная, кубической сингонии; молярная масса равна 184 г/моль, плотность – 19,3 г/см³).

20. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (110); в) (100). Укажите, для какой системы межплоскостные расстояния d минимальны, а для какой – максимальны. Определите отношения межплоскостных расстояний d₁₁₁:d₁₁₀:d₁₀₀.

21. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите формулу для температурной зависимости концентрации дефектов по Френкелю.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22. Во сколько раз изменится концентрация дефектов по Шоттки в алюминии при повышении его температуры от 20 ^оС до 600 ^оС, если энергия образования вакансии по Шоттки в алюминии E_V  0,75 эВ.

23. Определите постоянные а и с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Плотность кристаллического магния равна 1,7410³ кг/м³, его молярная масса равна 24 г/моль.

24. Перечислите основные принципы, лежащие в основе классификации кристаллов. На какие группы делятся кристаллы по типу химической связи?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

25. -железо имеет кубическую объемноцентрированную структуру (a = 2,86 А),  -железо – кубическую структуру с центрированными гранями (a = 3,56 А). Как изменится плотность железа при переходе его из - в -модификацию? Молярная масса железа равна 5610^–3 кг/моль.

26. Зная, что энергия активации самодиффузии атомов меди по вакансиям составляет 0,66 эВ, оцените среднюю скорость поступательного движения этих атомов по решетке при температуре 300 К. Во сколько раз эта скорость меньше скорости теплового движения атомов меди в ее парах при той же температуре? Молярная масса меди равна 64 г/моль.

27. Докажите, что ГЦК решетка является обратной решеткой для ОЦК решетки.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

28. При растяжении медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1,5 мм², начало остаточной деформации наблюдалось при нагрузке F = 44,l H. Каков предел упругости материала проволоки?

29. На дебаеграмме некоторого кубического кристалла, снятой на излучении меди с длиной волны  = 1,542 Å, видны линии под углами Брэгга : 20,2; 24,0; 25,1; 29,3°. Проиндицируйте эти линии. Определите, является ли эта решетка примитивной, гранецентрированной или объемноцентрированной. Вычислите длину ребра ячейки. Плотность этого вещества равна 8,31 г/см³, молярная масса равна 312 г/моль. Найдите число молекул в одной кубической элементарной ячейке.

30. Вычислите коэффициенты компактности (коэффициенты упаковки) простой и объемноцентрированной кубической решетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31. Каким должен быть предельный диаметр d стального троса, чтобы он выдержал нагрузку F = 9,8 кН? Предел прочности стали _max= 785 МПа.

32. На дебаеграмме некоторого кубического кристалла, снятой на излучении меди с длиной волны  = 1,542 Å, видны линии под углами Брэгга : 12,3; 14,1; 20,2; 24,0°. Запишите индексы Миллера плоскостей, от которых отразились эти линии. Определите, является ли эта решетка примитивной, гранецентрированной или объемноцентрированной. Вычислите длину ребра ячейки. Плотность этого вещества равна 8,31 г/см³, молярная масса равна 312 г/моль. Найдите число молекул в одной кубической элементарной ячейке.

33. Вычислите коэффициенты компактности (коэффициенты упаковки) объемноцентрированной и гранецентрированной кубической решетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

34. Найдите индексы направлений прямых АВ, CD и KL, изображенных на рис. а, б, в.

35. Найдите наименьшее межатомное расстояние в гранецентрированном кубическом кристалле, если дифракция рентгеновского излучения, распространяющегося вдоль направления [100], наблюдается в направлении [122]. Длина волны излучения равна 5,03^.10^–10 м.

36. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите формулу для температурной зависимости концентрации дефектов по Шоттки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

37. Напишите индексы направления прямой, проходящей через два узла с координатами: 1)  (1,2,3) и (3,2,1); 2) (1,2,1) и (2,0,1). Решетка кубическая, примитивная.

38. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной l = 40 м и диаметром d = 2 мм. Какую нагрузку F может выдержать эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если на ней повиснет человек массой m = 70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку? Предел упругости стали равен 294 МПа, предел прочности – 785 МПа. Плотность стали  = 7,87 г/см³.

39. Найдите атомный фактор для однородного распределения Z электронов внутри сферы радиуса R.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

40. Запишите индексы Миллера для плоскостей (в примитивной кубической решетке), изображенных на рис. а – е.

41. Из резинового шнура длиной l = 42 см и радиусом r = 3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, растянул резиновый шнур на l = 20 см. Найдите модуль Юнга для этой резины, если известно, что камень массой т = 0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью v = 20 м/с. Изменением сечения шнура при растяжении пренебречь.

42. Для кубического кристалла докажите, что из условия Лауэ следует закон дифракции Брэгга-Вульфа.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

43. Запишите индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с координатами: 1) (1,1,1), (1,1,2), (1,0,1); 2) (1,1,1), (0,1,0), (1,1,1). Найдите отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

44. К железной проволоке длиной l = 50 см и диаметром d = l мм привязана гиря массой m = 1 кг. С какой частотой можно равномерно вращать в горизонтальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась? Предел прочности проволоки _max= 294 МПа.

45. На кристалл, имеющий простую решетку, падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, которая характеризуется частотой  и волновым вектором . Считая атомы кристалла точечными рассеивающими центрами, получите выражение для амплитуды рассеянной волны и уравнения дифракции Лауэ.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

46. Изобразите плоскости с индексами Миллера (120), (132) и (120) для простой кубической решетки. Найдите наименьшие отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

47. Найдите длину l медной проволоки, которая, будучи подвешена вертикально, начинает рваться под действием собственной силы тяжести. Решите эту же задачу для свинцовой проволоки. Предел прочности меди равен 245 МПа, предел прочности свинца – 20 МПа. Плотность меди равна 8,9 г/см³, свинца – 11,3 г/см³.

48. На кристалл с постоянными решетки a, b и c падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, которая характеризуется частотой  и волновым вектором . Используя уравнения дифракции Лауэ, получите связь вектора рассеяния волны с вектором обратной решетки (условие дифракции Лауэ).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

49. Направление нормали к некоторой плоскости в кубической решетке задано индексами [110]. Напишите индексы Миллера для этой плоскости и укажите наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

50. К стальной проволоке длиной l = 1 м и радиусом r = 1 мм подвесили груз массой m = 100 кг. Найдите работу А растяжения проволоки, если модуль Юнга для стали равен 216 ГПа.

51. На кристалл, имеющий простую решетку, падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, которая характеризуется частотой  и волновым вектором . Считая, что эта волна рассеивается электронами кристалла, получите выражения для амплитуды рассеянной волны и для атомного фактора рассеяния (форм-фактора).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

52. Определите скорость электронов, нормально падающих на тонкую кристаллическую пластину, если первый максимум в картине дифракции прошедших через кристалл электронов наблюдается под углом 310^–2 рад. Кристаллическую пластинку можно считать дифракционной решеткой с периодом 210^–8 см.

53. Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) могут выдержать: а) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус r = 25 мм, а толщина стенок r = 1,0 мм? Предел прочности стекла _max= 0,05 ГПа.

54. Докажите, что направление [h k l] в кубической решетке нормально к плоскости (h k l).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

55. Какие плоскости в структуре гранецентрированного куба и объемноцентрированного куба имеют наибольшую плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?

56. Стальной цилиндрический стержень длиной l и радиусом r подвесили одним концом к потолку. Найдите энергию U упругой деформации стержня. Модуль Юнга E и плотность материала стержня  считать известными.

57. Кристаллическую решетку алмаза можно представить себе как две вставленные друг в друга ГЦК подрешетки, одна из которых сдвинута относительно другой вдоль главной диагонали куба на четверть ее длины. В то же время элементарную ячейку этой решетки можно представить в виде обычного куба, с базисом из восьми атомов углерода. Найдите структурный фактор этого базиса.

58. Постоянная кубической гранецентрированной решетки меди равна 0,361 нм. Напишите миллеровские индексы системы плоскостей, плотность расположения атомов в которых максимальна. Вычислите эту плотность (атом/см²).

59. Отражение первого порядка рентгеновских лучей от системы плоскостей (100) в кубическом кристалле имеет длину волны 2,10 Å. Найдите параметр ячейки этого кристалла, если угол скольжения рентгеновских лучей равен 10°5'.

60. Установите связь между крутящим моментом N и углом закручивания  для сплошного стержня круглого сечения с радиусом r. Длина l стержня и модуль сдвига G известны.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

61. Вычислите для кубической решетки углы между прямой [123] и осями [100], [010] и [001].

62. Пользуясь графиком температурной зависимости коэффициента самодиффузии в Al, Cu, P, In и Sn (см. рис.), определите энергию активации этого процесса для указанных кристаллических веществ.

63. Установите связь между крутящим моментом N и углом закручивания  для трубы, у которой толщина стенок r значительно меньше ее радиуса r. Длина трубы l и модуль сдвига G известны.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

64. Период идентичности I_hkl – это расстояние между соседними одинаковыми атомами вдоль определенного направления кристаллической решетки. Вычислите период идентичности вдоль прямой [111] в решетке кристалла NaCl, если плотность кристалла равна 2,1710³ кг/м³. Молярная масса натрия равна 23 кг/кмоль, молярная масса хлора – 35,5 кг/кмоль. Кристалл NaCl имеет ГЦК решетку.

65. Какую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длиной l = 2,0 м, шириной h = 6,0 см и толщиной  = 2,0 мм согнуть в круглый обруч? Процесс происходит в пределах упругой деформации. Модуль Юнга для стали E = 200 ГПа.

66. Постройте решетку, обратную к простой кубической решетке. Найдите период этой обратной решетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

67. Вычислите угол  между нормалями к плоскостям (в кубической решетке), заданных индексами Миллера (111) и (123).

68. Рассчитайте постоянную Авогадро по результатам исследований дифракции рентгеновских лучей от плоскости (111) алюминия, если эти лучи имеют длину волны  = 1,540 Å, а первый дифракционный максимум наблюдается под углом  = 19,2°. Плотность алюминия  = 2699 кг/м³, молярная масса  = 26,98 г/моль. Алюминий имеет ГЦК структуру.

69. Пользуясь микроскопическими представлениями о строении кристаллов, получите закон Гука, связывающий скалывающее напряжение  и относительную деформацию сдвига кристаллического образца под действием этого напряжения.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

70. Плоскость в кубической решетке задана индексами Миллера (011), направление прямой – индексами [111]. Определите угол  между прямой и плоскостью.

71. В ракетной технике необходимы конструкции, которые обладают максимальной жесткостью при минимальном весе. При этом жесткость определяется как отношение приложенной поперек стержня силы к результирующему смещению. Сравните радиусы двух цилиндрических стержней из алюминия и из стали, обладающих одинаковой жесткостью и длиной. Сильно ли отличаются массы этих стержней? Модуль сдвига для стали равен 5,6 ГПа, для алюминия – 2,4 ГПа. Плотность алюминия равна 2,7 г/см³, стали – 7,87 г/см³.

72. Найдите отношение объема примитивной ячейки ОЦК решетки к объему примитивной ячейки ее обратной решетки.

73. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (011). Определите угол  между этими плоскостями.

74. Найдите энергию упругой деформации стального стержня массой m = 3,1 кг, который растянут так, что его относительное удлинение  = 10^–3. Модуль Юнга для стали E = 200 ГПа, плотность стали  = 7,8 г/см³.

75. На кристалл, имеющий решетку с базисом, падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, которая характеризуется частотой  и волновым вектором . Считая атомы кристалла точечными рассеивающими центрами, получите выражения для амплитуды рассеянной волны и для структурного фактора базиса.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

76. Оцените концентрацию межузельных атомов (по Френкелю) в кремнии при температуре 300 К, если энергия образования пары дефектов по Френкелю для кремния E_F  2,5 эВ. Кремний имеет решетку типа алмаза с постоянной a = 5,43 Å.

77. Найдите постоянную кристаллической решетки AgBr (ГЦК решетка), если рентгеновский луч с длиной волны 5,03^.10^–10 м отражается в 1-ом порядке от системы плоскостей (100) под углом скольжения 25,9⁰.

78. Перечислите основные принципы, лежащие в основе классификации кристаллов. По каким признакам кристаллы делятся на сингонии (кристаллические системы), кристаллические классы и группы? Перечислите кристаллические системы в порядке убывания их симметрии.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

79. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол 55 с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов 180 эВ. Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.

80. Найдите момент пары сил М, необходимый для закручивания проволоки длиной l = 10 см и радиусом r = 0,1 мм на угол  = 10'. Модуль сдвига материала проволоки G = 4,910¹⁰ Па.

81. Поясните, чем примитивная ячейка кристалла отличается от условной (кристаллографической) элементарной ячейки. Найдите отношение объемов элементарной и примитивной ячейки ГЦК решетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

82. Найдите относительное изменение плотности цилиндрического стального стержня при всестороннем сжатии его давлением р = 9,810⁷ Па. Модуль всестороннего сжатия стали B = 1,6·10¹¹ Па.

83. Интегральная интенсивность рентгеновского излучения, отраженного от плоскостей (800) меди, при температуре 300 К в два раза меньше, чем при температуре 120 К. Определите по этим данным частоту колебаний атомов меди вблизи положения равновесия, считая эти колебания гармоническими. Медь имеет ГЦК решетку, период которой a = 3.61 Å. Молярная масса меди  = 6410^–3 кг/моль.

84. Поясните, чем примитивная ячейка кристалла отличается от условной (кристаллографической) элементарной ячейки. Найдите отношение объемов элементарной и примитивной ячейки ОЦК решетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

85. Зная постоянную а, определите межплоскостные расстояния d₁₀₀, d₁₁₀ и d₁₁₁ для простой кубической решетки. Изобразите соответствующие плоскости на рисунке.

86. Медный стержень длиной l подвесили за один конец к потолку. Найдите удлинение l стержня под действием собственного веса. Модуль Юнга для меди E = 130 ГПа, коэффициент Пуассона  = 0,34, плотность меди  = 8,9 г/см³.

87. Постройте группу точечных преобразований симметрии моноклинной и ромбической решетки. Какая из этих решеток является более симметричной?