Архив WinRAR / к3_Электронная теория твердых тел

1. Время жизни носителей заряда при излучательной межзонной рекомбинации в германии при комнатной температуре оказалось равным 810^–2 с. Оцените коэффициент излучательной рекомбинации и сечение захвата электронов дырками, если ширина запрещенной зоны германия W = 0,66 эВ, а эффективные массы электронов и дырок в германии равны соответственно m_n = 1,58m_e и m_p = 0,362m_e. Уровень инжекции считать малым.

2. Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Запишите уравнение Шредингера в пределах «ямы» () и решите его.

3. Из закона Ома, записанного в интегральной форме, выведите закон Ома в дифференциальной форме.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками», имеет вид , где l– ширина «ямы». Определите среднее значение координаты <х> электрона.

5. Проанализируйте температурную зависимость излучательного времени жизни дырок в германии p-типа, легированном галлием до концентрации 210¹⁶ см^–3. При анализе считать уровень инжекции низким, а коэффициент рекомбинации не зависящим от температуры. Ширину запрещенной зоны германия считать равной 0,785 эВ, эффективные массы электронов и дырок равными m_n = 1,58m_e и m_p = 0,362m_e соответственно. Энергия уровня галлия в германии E_а = E_v + 0,011 эВ. Время жизни носителей заряда при излучательной межзонной рекомбинации в собственном германии при комнатной температуре оказалось равным 810^–2 с.

6. Получите формулу, связывающую удельную электропроводность металлов с концентрацией и подвижностью электронов проводимости.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками», имеет вид , где l– ширина «ямы». Определите вероятность обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии с n=3. Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

8. Во сколько раз и как изменится время жизни электронов при рекомбинации через ловушки при изменении степени легирования кремния с 410¹⁰ до 410¹⁹ см^–3? Легирующая примесь – фосфор (E_d = E_c – 0,045 эВ). Ширина запрещенной зоны кремния W = 1,1 эВ. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии равны соответственно m_n = 0,91m_e и m_p = 0,595m_e.

9. Нарисуйте и поясните график температурной зависимости подвижности носителей заряда, если эти носители образуют 1) вырожденный газ; 2) невырожденный газ.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Найдите минимальную энергию, необходимую для образования пары электрон-дырка в кристалле арсенида галия GaAs, если его электропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры от +20⁰ С до –3⁰ С.

11. Как изменится время жизни электронов проводимости в собственном полупроводнике в условиях низкого уровня инжекции при изменении температуры полупроводника от 200 К до 300 К, если ширина запрещенной зоны полупроводника W = 0.785 эВ, а температурной зависимостью коэффициента рекомбинации можно пренебречь?

12. В каком из следующих случаев кремний обладает проводимостью n-типа: 1) по всему объему кристалла кремния равномерно распределены примесные атомы замещения, имеющие 5 валентных электронов, энергию ионизации 0,045 эВ и относительную электроотрицательность 2,1; 2) по всему объему кристалла кремния равномерно распределены примесные атомы внедрения, имеющие 5 валентных электронов, энергию ионизации 0,045 эВ и относительную электроотрицательность 2,1; 3) по всему объему кристалла кремния равномерно распределены примесные атомы замещения, имеющие 3 валентных электрона, энергию ионизации 6 эВ и относительную электроотрицательность 1,6; 4) по всему объему кристалла кремния равномерно распределены примесные атомы внедрения, имеющие 3 валентных электрона, энергию ионизации 6 эВ и относительную электроотрицательность 1,6; 5) кристалл кремния содержит достаточно большое число дефектов по Шоттки (вакансий); 6) кристалл кремния содержит достаточно большое число дислокаций. Атом кремния имеет 4 валентных электрона. Ширина запрещенной зоны кремния равна 1,1 эВ, его электроотрицательность равна 1,8. Ответ поясните.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13. По железному проводнику, диаметр сечения которого равен 0.6 мм, течет ток 16 А. Определите среднюю скорость направленного движения электронов, считая, что концентрация свободных электронов равна концентрации атомов проводника. Молярная масса железа равна 56 кг/кмоль, плотность железа равна 7.910³ кг/м³.

14. В примесном полупроводнике n-типа концентрация электронов равна 510¹⁶ см^–3. Время жизни электронов при излучательной рекомбинации в условиях малого уровня инжекции составляет 10^–5 с. Оцените значение времени жизни при изменении концентрации электронов до 510¹⁷ см^–3.

15. В каком из следующих случаев германий обладает проводимостью p-типа: 1) по всему объему кристалла германия равномерно распределены примесные атомы замещения, имеющие 5 валентных электронов, энергию ионизации 0,012 эВ и относительную электроотрицательность 2,1; 2) по всему объему кристалла германия равномерно распределены примесные атомы внедрения, имеющие 5 валентных электронов, энергию ионизации 0,012 эВ и относительную электроотрицательность 2,1; 3) по всему объему кристалла германия равномерно распределены примесные атомы замещения, имеющие 3 валентных электрона, энергию ионизации 5,8 эВ и относительную электроотрицательность 1,7; 4) по всему объему кристалла германия равномерно распределены примесные атомы внедрения, имеющие 3 валентных электрона, энергию ионизации 5,8 эВ и относительную электроотрицательность 1,7; 5) кристалл германия содержит достаточно большое число дефектов по Шоттки (вакансий); 6) кристалл германия содержит достаточно большое число дислокаций. Атом германия имеет 4 валентных электрона. Ширина запрещенной зоны германия равна 0,75 эВ, его электроотрицательность равна 1,8. Ответ поясните.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. Сила тока в металлическом проводнике сечением 4 мм² равна 0.8 А. Принимая, что концентрация свободных электронов в проводнике равна 2.510²² см³, определите среднюю скорость их упорядоченного движения.

17. Проанализируйте температурную зависимость времени жизни дырок при рекомбинации через ловушки в кремнии p-типа, легированном бором до концентрации 210¹⁹ см^–3. Ширину запрещенной зоны кремния считать равной 1,1 эВ, эффективные массы электронов и дырок равными m_n = 0,91m_e и m_p = 0,595m_e соответственно. Энергия уровня бора в кремнии E_а = E_v + 0,045 эВ. Измеренное время жизни дырок при комнатной температуре оказалось равным 810^–7 с.

18. Укажите, на каком из следующих рисунков изображена зонная структура: 1) металлов, 2) полупроводников, 3) диэлектриков. Штриховкой показаны области, заполненные электронами. E_g – ширина запрещенной зоны. Ответ поясните.

19. В медном проводнике длиной 2 м и площадью поперечного сечения, равной 0.4 мм², идет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты 0.35 Дж. Сколько электронов проходит через поперечное сечение этого проводника за 1 с.

20. Оцените скорость генерации электронно-дырочных пар в n-кремнии, легированном мышьяком до концентрации 510¹⁷ см^–3, если известно, что время жизни электронов в области истощения примеси _n = 710^–6 c. Ширина запрещенной зоны кремния W = 1,1 эВ. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии считать равными соответственно 0,91m_e и 0,595m_e. Уровень инжекции считать малым.

21. Поясните, в чем суть адиабатического и одноэлектронного приближения при описании поведения электронов в кристалле. Запишите и поясните одноэлектронное уравнение Шредингера в приближении сильной и в приближении слабой связи.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22. Оцените скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого равна 396 К. Плотность алюминия  = 2,610³ кг/м³, его молярная масса  = 2710^–3 кг/моль.

23. Вычислите удельное сопротивление собственного германия при температуре Т = 300 К. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в германии принять следующие значения: _n = 3.810³ см²/(Вс), b = 2.1. Эффективные массы электронов и дырок в германии равны соответственно 0.55m_e и 0.362m_e. Ширина запрещенной зоны германия равна 0.66 эВ.

24. Докажите (на примере линейной цепочки атомов с периодом a), что волновая функция Блоха может быть представлена разными способами.

25. Оцените максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой  = 330 К, а плотность  = 8,9 г/см³. Молярная масса меди  = 63,510^–3 кг/моль.

На рисунке показан график зависимости логарифма проводимости от обратной температуры T (в кК) для некоторого полупроводника n-типа. Найдите с помощью этого графика ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации донорных уровней. Докажите, что эффективная масса электрона в кристалле , где E  E(k) – дисперсионная зависимость энергии электрона от волнового числа k.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

28. Оцените давление фононного газа в меди при температуре T  . Дебаевская температура меди  = 330 К, ее плотность  = 8,9 г/см³, молярная масса меди  = 6310^–3 кг/моль.

На рисунке показан график зависимости логарифма проводимости от обратной температуры T (в кК) для некоторого полупроводника p-типа. Найдите с помощью этого графика ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации акцепторных уровней. Пользуясь дисперсионной зависимостью E(k) и определением эффективной массы электрона: ,

докажите, что эффективная масса электрона у дна зоны проводимости является величиной постоянной и положительной, а эффективная масса электрона у потолка валентной зоны является величиной постоянной, но отрицательной.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31. Вычислите энергию Ферми при нуле Кельвина для алюминия. Плотность алюминия _Al = 2,7^.10³ кг/м³, его молярная масса _Al=27 кг/кмоль. Считается, что на каждый атом алюминия приходится 3 свободных электрона. Алюминий имеет ГЦК решетку.

32. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 38,2 мкг галлия. Считая, что атомы примеси полностью ионизированы, вычислите удельное сопротивление кристалла. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в кремнии принять следующие значения: _n = 1.4510³ см²/(Вс), b = 2.9. Плотность кремния _Si = 2,3310³ кг/м³, его молярная масса _Si = 2810^–3 кг/моль. Молярная масса галлия _Ga = 7010^–3 кг/моль.

33. Докажите, что при низком уровне инжекции изменение концентрации неравновесных электронов после выключения внешнего фактора, который приводил к появлению избыточных носителей заряда, описывается выражением

,

где n(0) – концентрация неравновесных электронов в начальный момент времени t, _n – коэффициент рекомбинации электронов, n₀ и р₀ – концентрации равновесных электронов и дырок соответственно.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

34. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми, а температура изменяется от 1000 К до 300 К?

35. Подвижность электронов в чистом германии при комнатной температуре (300 К) равна 3800 см²/(Вс). Найдите удельное сопротивление этого материала при 30 К, считая, что подвижность меняется с температурой по закону , где а – постоянная. Эффективную массу электронов положить равной 0,55m_e, а эффективною массу дырок – 0,36m_e. При всех рассматриваемых температурах считать, что ширина запрещенной зоны германия равна 0,785 эВ, а отношение подвижностей электронов и дырок принять равным 2,1.

36. Поясните смысл величин, которые входят в формулу Шокли-Рида

и проанализируйте зависимость  от концентрации донорной примеси.

37. Вычислите суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в одном кубическом сантиметре цезия Cs (Е_F = 1,53 эВ,  = 1,87^.10³ кг/м³,  = 133 кг/кмоль) при нуле Кельвина.

38. Вычислите удельное сопротивление собственного кремния при температуре Т = 300 К. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в кремнии принять следующие значения: _n = 1.4510³ см²/(Вс), b = 2.9. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии равны соответственно 0.55m_e и 0.595m_e. Ширина запрещенной зоны кремния равна 1.1 эВ.

39. Поясните смысл величин, которые входят в формулу Шокли-Рида

и проанализируйте зависимость  от концентрации акцепторной примеси.

40. На нагревание металлического предмета массой 100 г от 20⁰ С до 50⁰ С затрачено 8300 Дж. Определите, из какого металла изготовлен предмет, если указанный интервал температур выше характеристической температуры данного металла.

41. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 25,7 мкг фосфора. Считая, что атомы примеси полностью ионизированы, вычислите удельное сопротивление кристалла. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в кремнии принять следующие значения: _n = 1.4510³ см²/(Вс), b = 2.9. Плотность кремния _Si = 2,3310³ кг/м³, его молярная масса _Si = 2810^–3 кг/моль. Молярная масса фосфора _P = 3110^–3 кг/моль.

42. Найдите с помощью формулы , где dn(E) – концентрация электронов с энергиями в интервале от E до E+dE (энергия Е отсчитывается от дна зоны проводимости, T=0 К): а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна n; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна E_F.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

43. Пользуясь классической теорией (Дюлонга и Пти), вычислите удельные теплоемкости кристаллов NaCl и СаСl. Молярная масса Na равна 23 кг/кмоль, молярная масса Ca – 40 кг/кмоль, молярная масса Cl – 35,5 кг/кмоль.

44. Вычислите концентрацию дырок и удельное сопротивление кремния, легированного бором (N_a = 10¹⁷ см^–3), при температуре 20 К, если эффективная масса дырок равна 0,59m_e, подвижность дырок _p = 100 см²В^–1с^–1, а энергетический уровень брома в кремнии равен E_v + 0.045 эВ.

45. Воспользовавшись формулой , где dn(E) – концентрация электронов с энергиями в интервале от E до E+dE (энергия Е отсчитывается от дна зоны проводимости) найдите при T=0 К: а) распределение свободных электронов по скоростям; б) отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.

46. Определите максимальную и среднюю квадратичную скорость свободных электронов кальция при Т = 0 К, считая, что на каждый атом кальция приходится два свободных электрона. Кальций имеет ГЦК решетку, постоянная которой a = 5.58 A.

47. При нагревании кристалла меди массой 25 г от T₁ = 10 К до T₂ = 20 К ему было сообщено количество теплоты, равное 0,80 Дж. Найдите дебаевскую температуру  для меди, если известно, что Т₁, Т₂ << . Молярная масса меди  = 63 кг/кмоль.

48. Получите формулу, связывающую подвижность носителей заряда с их эффективной массой и временем свободного пробега (временем релаксации).

49. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при температуре 400 К оказалась равной 1,3810¹⁵ см^–3. Найдите значение произведения эффективных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запрещенной зоны полупроводника равна 0,785 эВ.

50. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 25,7 мкг фосфора и 38,2 мкг галлия. Считая, что атомы примеси полностью ионизированы, вычислите удельное сопротивление кристалла. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в кремнии принять следующие значения: _n = 1.4510³ см²/(Вс), b = 2.9. Плотность кремния _Si = 2,3310³ кг/м³, его молярная масса _Si = 2810^–3 кг/моль. Молярная масса фосфора _P = 3110^–3 кг/моль, галлия – _Ga = 7010^–3 кг/моль

51. Поясните смысл величин, которые входят в формулу Шокли-Рида

и проанализируйте зависимость  от температуры в полупроводнике n-типа.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

52. Вычислите собственные концентрации электронов и дырок в германии при Т = 300 К. Эффективные массы электронов и дырок принять равными соответственно 1,58m_e и 0,362m_e. Ширина запрещенной зоны германия при Т = 300 К составляет 0,66 эВ.

53. Вычислите концентрацию дырок и удельное сопротивление кремния, легированного бором (N_a = 10¹⁷ см^–3), при комнатной температуре, если эффективная масса дырок равна 0,59m_e, подвижность дырок _p = 100 см²В^–1с^–1, степень ионизации примеси равна 1, а энергетический уровень брома в кремнии равен E_v + 0.045 эВ.

54. Поясните смысл величин, которые входят в формулу Шокли-Рида

и проанализируйте зависимость  от температуры в полупроводнике p-типа.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

55. Энергия Ферми собственного полупроводника при температуре Т = 300 К оказалась равной E_F = E_c – 0,53 эВ, где E_c – энергия дна зоны проводимости. Найдите отношение эффективных масс электронов и дырок в этом полупроводнике, если ширина его запрещенной зоны составляет 1,1 эВ.

56. Вычислите среднюю длину свободного пробега фононов в кварце SiO₂ при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность  = 13 Вт/(мК), молярная теплоемкость С_m = 44 Дж/(мольК), а усредненная скорость звука v = 5 км/с. Плотность кварца  = 2,6510³ кг/м³, его молярная масса  = 6010^–3 кг/моль.

57. Нарисуйте и поясните график температурной зависимости удельной проводимости примесных полупроводников.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

58. При некоторой температуре германий имеет удельное сопротивление 0.48 Омм. Определите концентрацию носителей заряда, если подвижности электронов и дырок равны соответственно 0.36 и 0.16 м²/(Вс).

59. Оцените температуру, при которой уровень Ферми совпадает с уровнем донорной примеси для германия, легированного сурьмой с концентрацией 10¹⁶ см^–3 (уровень сурьмы E_d = E_c – 0,01 эВ). Какова концентрация электронов при этой температуре? Эффективные массы электронов и дырок в германии принять равными соответственно 1,58m_e и 0,362m_e. Ширину запрещенной зоны германия считать равной 0,785 эВ.

60. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, получите выражение для плотности распределения этих волн по частотам g(). При выводе этого выражения следует считать, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N – число атомов в рассматриваемом объеме).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

61. При какой концентрации акцепторной примеси в кремнии уровень Ферми будет пересекать примесный уровень с энергией E_а = E_v + 0,045 эВ при температуре Т = 100 К? Ширина запрещенной зоны кремния W = 1,1 эВ. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии считать равными 0,91m_e и 0,595m_e соответственно.

62. Исходя из классической теории электропроводности металлов, определите среднюю кинетическую энергию электронов металла (в электрон-вольтах), если отношение теплопроводности к удельной проводимости для этого металла равно 6.710^–7 В²/К.

63. Зная плотность распределения нормальных колебаний по частотам

получите общее выражение для концентрации фононного газа и рассмотрите предельные случаи, соответствующие области низких (T << T_D) и области высоких (T >> T_D) температур. T_D – температура Дебая.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

64. Оцените концентрацию акцепторной примеси в кремнии, при которой температура перехода p-кремния к собственной проводимости составляет 600 К. Ширина запрещенной зоны кремния W = 1,1 эВ. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии считать равными 0,91m_e и 0,595m_e соответственно.

65. Концентрация примеси в германии n-типа равна 310¹⁷ см^–3. Концентрация дырок в этом полупроводнике при температуре 300 К, которая относится к области истощения примеси оказалась равной 1,510¹³ см^–3. Найдите по этим данным проводимость собственного германия при той же температуре 300 К. Для подвижностей электронов и дырок (_n = b_p) в германии принять следующие значения: _n = 3,810³ см²/(Вс), b = 2,1.

66. Получите выражение для молярной теплоемкости С_т, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двумерной решеткой:

,

где T – температура кристалла, T_D – температура Дебая, R – универсальная газовая постоянная.

67. При какой концентрации фосфора в кремнии температура перехода n-кремния к собственной проводимости будет равна 800 К? Ширина запрещенной зоны кремния W = 1,1 эВ. Эффективные массы электронов и дырок в кремнии считать равными 0,91m_e и 0,595m_e соответственно. Энергетический уровень фосфора в кремнии E_d = E_c – 0,045 эВ.

68. Подвижность электронов в чистом германии при комнатной температуре (300 К) равна 3800 см²/(Вс). Найдите удельное сопротивление этого материала при 30 К, считая, что подвижность меняется с температурой по закону , где а – постоянная. Эффективную массу электронов положить равной 0,55m_e, а эффективною массу дырок – 0,36m_e. При всех рассматриваемых температурах считать, что ширина запрещенной зоны германия равна 0,785 эВ, а отношение подвижностей электронов и дырок принять равным 2,1.

69. Проанализируйте температурную зависимость теплопроводности кристаллической решетки. Нарисуйте график этой зависимости.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

70. Исходя из модели свободных электронов в металле, определите число соударений с дефектами кристаллической решетки, которые испытывает электрон за 1 с, если концентрация свободных электронов равна 10²⁹ м^–3, а удельная проводимость металла равна 10⁷ См/м.