3.1.1. Каноническая сумма минтермов

По таблице истинности также можно составить булево выражение. Одна из его форм − получение канонической суммы минтермов или стандартной суммы произведений.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) представления булевого выражения − запись функции Y в виде дизъюнкции конъюнкций (стандартной суммы произведений), для которых значение функции равно 1.

Каждая конъюнкция этой дизъюнкции включает каждую переменную только один раз в прямом или инверсном виде, при определенном наборе переменных истинна (равна 1) и носит название минтерма.

Алгоритм перехода от таблицы истинности к записи выражения в СДНФ (канонической суммы минтермов) заключается в следующем:

1. Составить минтермы для строк таблицы истинности, на которых функция Y равна 1. Если значение переменной (X1, X2…) в строке равно 0, то в минтерме записывается отрицание этой переменной.

2. Записать дизъюнкцию составленных минтермов, которая и будет представлять булево выражение в СДНФ.

Это правило называют правилом записи переключательной функции по единицам.

Пример 3 Составим булево выражение для следующей таблицы истинности

X1	X2	X3	Y	Минтермы для Y=1
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

f(X1, X2, X3)= +++

Алгебра логики содержит ряд следующих теорем:

№	а)	b)	Закон
1
2	X+0=X	X∙1=X
3	X+1=1	X∙0=0
4	X+X=X	X∙X=X	идемпотентности
5	X+=1	X∙=0
6	=X		двойного отрицания
7	X+Y=Y+X	X∙Y=Y∙X	коммутативности (переместительный)
8	X+X∙Y=X	X∙(X+Y)=X	поглощения
9	X+∙Y=X+Y	X∙(+Y)=X∙Y
10			двойственности (де Моргана)
11	(X+Y)+Z= =X+(Y+Z)= X+Y+Z	(X∙Y)∙Z= =X∙(Y∙Z)= =X∙Y∙Z	ассоциативности (сочетательный)
12	X+Y∙Z= =(X+Y)∙(X+Z)	X∙(Y+Z)= =X∙Y+X∙Z	дистрибутивности (распределительный)
13	X∙Y+∙Y=Y	(X+Y)∙(+Y)=X	склеивания

Все перечисленные теоремы можно доказать методом совершенной индукции, то есть перебором всех возможных значений.

Пример 4 Упростим булево выражение

3.1.2. Каноническое произведение макстермов

Получить булево выражение по таблице истинности можно через произведение макстермов.

Один из вариантов алгоритма перехода от таблицы истинности к записи выражения через произведение макстермов заключается в следующем:

1. Составить минтермы для строк таблицы истинности, на которых функция Y равна 0. Если значение переменной (X1, X2…) в строке равно 0, то в минтерме записывается отрицание этой переменной.

2. Записать дизъюнкцию составленных минтермов, которая будет представлять булево выражение для .

3. Найдем инверсию полученного выражения, применив правило де Моргана. Полученное выражение − произведение макстермов.

Пример 5 Составим булево выражение для следующей таблицы истинности

X1	X2	X3	Y	Минтермы для Y=0
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

Получаем булево выражение для нулевых значений выходного параметра:

Каждая сумма включает каждую переменную только один раз в прямом или инверсном виде и носит название макстерма.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представления булевого выражения − запись функции Y в виде конъюнкции дизъюнкций (стандартного произведения сумм), для которых значение функции равно 0.

Алгоритм перехода от таблицы истинности к записи выражения в СКНФ (второй вариант определения канонического произведения макстермов) заключается в следующем:

1. Составить макстермы для строк таблицы истинности, на которых функция Y равна 0. Если значение переменной (X1, X2…) в строке равно 1, то в макстерме записывается отрицание этой переменной.

2. Записать конъюнкцию составленных макстермов, которая и будет представлять булево выражение в СКНФ.

Это правило называют правилом записи переключательной функции по нулям.

Пример 6 Составим булево выражение для таблицы истинности примера 3

X1	X2	X3	Y	Макстермы для Y=0
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

f(X1, X2, X3)= ()∙()∙()∙()