Практическое занятие № 3
3. Основы алгебры логики
Основным математическим аппаратом, используемым при анализе и синтезе дискретных элементов и устройств является алгебра логики (булева алгебра, алгебра Буля).
В алгебре логики широко используется понятие “высказывание”. Высказывание – простое повествовательное положение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно, но не то и другое одновременно. Любое высказывание можно обозначить символом X и считать, что X=1, если высказывание истинно, а X=0, если высказывание ложно.
Логическая (булева) переменная – такая переменная X, которая может принимать только два значения: X={0,1}. Из двух простых высказываний X1 и X2 можно образовать более сложные высказывания, используя операции “И”, “ИЛИ”, “НЕ”. Сложные высказывания также принимают значения “истинно” или “ложно”, т.е. 1 или 0.
Операция
И
− логическое умножение или конъюнкция,
обозначается «∙» или «».
Операция ИЛИ
− логическое сложение или дизъюнкция,
обозначается «+» или «».
Операция НЕ
− отрицание, инверсия или дополнение,
обозначается
.
|
Определение операции И |
Определение операции ИЛИ |
Определение операции НЕ |
|
|
|
|
Таким образом, простые высказывания являются переменными, а более сложные высказывания – функциями. Причем как переменные, так и функции могут принимать только значения 0 или 1.
Алгебра логики – алгебра, содержащая 3 операции “И” (конъюнкция), “ИЛИ” (дизъюнкция), “НЕ”(отрицание) над множеством элементов, каждый из которых принимает два значения 0 или 1. Результаты выполнения операций над множеством элементов также принимают два значения 0 или 1.
3.1. Таблицы истинности и булевы выражения
Цель булевой алгебры − описание поведения и структуры логических схем. Логическая схема, которую можно описать полностью таблицами истинности или булевыми выражениями − комбинационная схема. В ней значения входных переменных в текущий момент времени полностью определяют значения выходных переменных.
Последовательностные схемы (цифровые автоматы) − логические схемы с внутренней памятью. Для них значения выходных переменных определяются не только текущими значениями входных переменных, но также их значениями в предыдущие моменты времени.
Таблица истинности (комбинационная таблица) − таблица, содержащая все возможные комбинации значений входных переменных, вместе с соответствующими им значениями выходных переменных. Самый простой способ включения в таблицу истинности всех возможных входных значений состоит в последовательном переборе в двоичной системе счисления всех чисел от 0 до 2n-1.
Булево выражение − формула, состоящая из булевых констант и переменных, связанных операциями И, ИЛИ и НЕ.
Пример
1
По булевому выражению можно построить таблицу истинности.
Пример 2 Построим таблицу истинности по выражению из примера 1
|
ДАНО |
РАСЧЕТ | ||||||||
|
X1 |
X2 |
X3 |
|
|
X1+ |
|
|
X2∙X3 |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
+X3