16

Практическое занятие № 1 позиционные системы счисления

Система счисления (NUMERATION SYSTEM) − способ представления чисел с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. В зависимости от способов изображения чисел цифрами системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. В ЭВМ используются позиционные системы счисления (RADIX NUMERATION SYSTEM), которые характеризуются наглядностью записи чисел и сравнительной простотой арифметических операций. Непозиционные системы счисления в вычислительной техничке не используются из-за своей громоздкости и сложности правил образования.

В непозиционной системе счисления количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Например, в непозиционной римской системе счисления число XXX (тридцать) содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.

В позиционной системе счисления одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое позицией этой цифры в последовательности цифр, изображающей число. Основанием (RADIX) позиционной системы счисления называется число S различных цифр, используемых ею для изображения чисел. Эти цифры обычно обозначают S целых чисел: 0, 1, …(s-1).

В общем случае произвольное число в позиционной системе счисления может быть представлено в виде полинома от основания S:

(1.1)

где X_s − число в s-й системе счисления;

s − основание системы счисления;

i − номер разряда (позиции);

n, m − целые положительные числа;

n, (-m) − номера старшего и младшего разрядов;

X_i{0, 1, …, (s-1)} − коэффициенты, целые положительные числа от нуля до s-1, показывающие, сколько единиц i-го разряда содержится в числе.

Краткая запись числа представляется последовательностью цифр

X_S = x_nx_n-1 … x₁x₀ , x_-1 … x_-m. (1.2)

В этой последовательности запятая отделяет целую часть от дробной. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называются разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы счисления. Для человека привычной является десятичная (s=10) система счисления (DECIMAL NOTATION), в которой алфавит составляет 10 цифр: 0, 1, …, 9.

Для обозначения системы счисления, в которой записано число, рядом с числом будем указывать основание системы счисления. Например, для десятичной (арабской) системы:

X₁₀= 379₁₀ = 3∙10²+7∙10¹+9∙10⁰.

3 7 9

коэффициенты

В связи с тем, что ЭВМ строятся из элементов, имеющих только два устойчивых состояния, для представления чисел в ЭВМ удобно использовать двоичную систему (s=2) (BINARY NOTATION). Алфавит двоичной системы счисления состоит из двух символов: 0 и 1. Например, число в двоичной системе будет изображаться:

X₂= 11010110₂ =1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы применяются для сокращения длины записи при кодировании программы и плотного размещения данных в памяти машины. В восьмеричной системе (s=8) используются цифры от 0 до 7, с основанием s=16 (шестнадцатеричной) – алфавит из шестнадцати символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Двоично-десятичный код занимает промежуточное положение между десятичной и двоичной записью чисел. В этом коде каждой десятичной цифре числа ставится в соответствие четырехразрядное двоичное число (тетрада). Таким образом, получается двоично-кодированная десятичная система счисления, соединяющая достоинства двоичного представления и удобства десятичной системы счисления.

Представление ряда чисел в различных системах счисления показано в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Представление числа в системе счисления

Основание системы счисления				S=102
S=10	S=2	S=8	S=16
0	0	0	0	0000
1	1	1	1	0001
2	10	2	2	0010
3	11	3	3	0011
4	100	4	4	0100
5	101	5	5	0101
6	110	6	6	0110
7	111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	A	0001 0000
11	1011	13	B	0001 0001
12	1100	14	C	0001 0010
13	1101	15	D	0001 0011
14	1110	16	E	0001 0100
15	1111	17	F	0001 0101
16	10000	20	10	0001 0110
17	10001	21	11	0001 0111
18	10010	22	12	0001 1000
19	10011	23	13	0001 1001
20	10100	24	14	0010 0000
21	10101	25	15	0010 0001
22	10110	26	16	0010 0010
23	10111	27	17	0010 0011
24	11000	30	18	0010 0100
25	11001	31	19	0010 0101
26	11010	31	1A	0010 0110
27	11011	33	1B	0010 0111
28	11100	34	1C	0010 1000
29	11101	35	1D	0010 1001
30	11110	36	1E	0011 0000
31	11111	37	1F	0011 0001
32	100000	40	20	0011 0010