1. Перевод чисел из одной системы в другую

Пусть необходимо число X_S из системы счисления с исходным основанием S перевести в эквивалентное число X_R в системе счисления с новым основанием R.

Существует много различных алгоритмов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Выбор наиболее удобного зависит от вида числа (целое или правильная дробь), соотношения оснований (кратные, некратные), использования арифметики исходной или новой системы счисления.

1.1. Алгоритмы перевода чисел в другую систему счисления, использующие арифметику исходной системы счисления (s).

1. Правило перевода целых чисел X_S→X_R, X – целое.

Для перевода целого числа X_S, представленного в системе счисления с основанием S, в систему счисления с основанием R необходимо по правилам арифметики исходной S –системы делить данное число X_S на новое основание R до получения целого остатка, меньшего R. Полученное частное необходимо снова делить на основание R до получения целого остатка, меньшего R, и т.д. до тех пор, пока последнее частное будет меньше нового основания R. Число X_R в системе счисления с основанием R представится последовательностью остатков деления в порядке, обратном их получению, причем старшую цифру в числе X_R дает последнее частное.

Поскольку используется арифметика исходной системы, то таким способом удобно переводить из 10-й системы счисления в другие системы.

Пример 1. Перевести десятичное число 57₁₀ в систему счисления с основанием 2.

X_S = 57; X_R = ?

57	2
– 56	28		2
1	– 28		14		2
	0		– 14		7		2
			0		– 6		3		2
					1		– 2		1	←старший разряд числа в новой
							1			двоичной системе счисления

X₂ = 111001

Пример 2. Преобразовать десятичное число 634₁₀ в шестнадцатеричное.

Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	634/16	39	А	младший значащий разряд
2	39/16	2	7
3	2/16	0	2	старший значащий разряд

X₁₆ =27А

Пример 3. Преобразовать десятичное число 57₁₀ в двоичное.

Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	57/2	28	1	младший значащий разряд
2	28/2	14	0
3	14/2	7	0
4	7/2	3	1
5	3/2	1	1
6	1/2	0	1	старший значащий разряд

X₂ =111001

1.1.2. Правило перевода правильной дроби X_S→X_R, |X|<1.

Перевод правильной дроби X_S, представленной в системе счисления с основанием S в систему счисления с основанием R, заключается в последовательном умножении этой дроби на новое основание R (по правилам исходной системы S), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь X_R в системе счисления с новым основанием представится в виде последовательности целых частей произведений в порядке их получения, где старший разряд является целой частью первого произведения. Если требуемая точность перевода есть R^-k, то число указанных последовательных произведений равно k.

Пример 4. Перевести дробь 0,761 в двоичную с точностью 2^-5.

Заданное число умножаем последовательно 5 раз на 2.

			0,761
		х	2
Направление			1,522
записи		х	2
двоичного			1,044
числа		х	2
			0,088
		х	2
			0,176
		х	2
			0,352

Десятичной дроби X₁₀=0,761 с точностью 2^-5 соответствует двоичная дробь X₂=0,11000.

Пример 5. Преобразовать дробь 0,328125₁₀ в шестнадцатеричную с точностью 2^-2.

Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,328125*16=5,25	5	старший значащий разряд
2	0,25*16=4,00	4	младший значащий разряд

X₁₆ = 0,54

Пример 6. Преобразовать дробь 0,34375₁₀ в двоичную с точностью 2^-5.

Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,34375*2=0,6875	0	старший значащий разряд
2	0,6875*2=1,375	1
3	0,3750*2=0,75	0
4	0,75*2=1,5	1
5	0,5*2=1,0	1
6	0,0*2=0	0	младший значащий разряд

X₂ = 0,010110

1.1.3. Правило перевода неправильной дроби.

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, перевод из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, указанным выше.

Пример 7. Преобразовать десятичное число 634,328125₁₀ в восьмеричное.

Преобразование целой части
Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	634/8	79	2	младший значащий разряд
2	79/8	9	7
3	9/8	1	1
4	1/8	0	1	старший значащий разряд
Результат 63410 =11728

Преобразование дробной части
Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,328125*8=2,625	2	старший значащий разряд
2	0,625*8=5,00	5	младший значащий разряд
Результат 0,32812510 =0,258

Общий результат: 634,328125₁₀=1172,25₈