27. Этапы математического моделирования

Сама постановка вопроса о математическом моделировании како­го-либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель — алгоритм — программа.

На первом этапе выбирается (или строится) «эквивалент» объек­та, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Математическая модель (или ее фрагменты) исследу­ется теоретическими методами, что позволяет получить важные пред­варительные знания об объекте.

Второй этап — выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вы­числительных и логических операций, которые нужно произвести, что­бы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следова­тельно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъяв­ляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на «экспериментальной установке» — компьютере.

Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» — исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное «моделирование», расширяет поле приложений рациональных методов.

28. Построение математических моделей на основе фундаментальных законов природы

Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнаны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснован­ность не вызывает сомнений, что, помимо всего прочего, обеспечивает исследователю мощную психологическую поддержку. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать.

Этот закон известен почти двести лет и занимает, пожалуй, наиболее почетное место среди великих зако­нов природы. Полагаясь на него, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имею­щий поблизости специальной лаборатории, может воспользоваться относительно простым устройством типа маятника — груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне.

29. Построение математических моделей на основе вариационных принципов

Вариационные принципы

Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое.

Допустим, автомобиль, движущийся с постоянной скоростью v, должен попасть из точки А в точку В и при этом коснуться некоторой прямой линии С (рис. 4). Водитель автомобиля очень торопится и выбирает из множества траекторий путь, требующий минимальных затрат времени.

Однако сейчас для нас важно другое — условие минимальных затрат времени привело к выбору соответствующей траектории по правилу «угол падения равен углу отражения».

Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвле­каться от конкретной природы процесса. Так, водитель автомобиля, следующий принципу «минимального времени» и желающий попасть из точки А, находящейся на песчаной почве (одна скорость), в точку Б, расположенную на травянистом лугу (другая скорость), обязан поехать не по прямой, соединяющей А и Б, а по ломанной траектории, сделав необходимое «преломление» на линии, разделяющей песок и траву.