Раздел 2 - Работа с матрицами в Scilab(230114)

2.Работа с матрицами в среде Scilab

2.1Задание матриц

Матрица в среде Scilab может вводиться несколькими способами:

--> a=[1 2 3; 2 3 4; 4 5 6] <Enter>

или

--> a=[1 2 3; <Enter> 2 3 4; <Enter> 4 5 6] <Enter>

Результат - матрица размере 3х3

1

Вектор столбец можно вводить b 2 несколькими способами

3

--> b=[1;2;3] <Enter>

или

--> b=[1 2 3]' <Enter>

Таким образом матрица и вектор начинается с символа [ , а заканчивается символом ]. Разделение на элементы внутри строки осуществляется пробелом или символом ,. Разделение на строки осуществляется символом ;.

Обращаться к элементам матрицы или вектора можно так a(1,2) есть элемент a12 , b(2) есть элемент b2 .

2.2Операции над матрицами и векторами

+- поэлементное сложение элементов матриц

- - поэлементное вычитание элементов матриц * - матричное умножение

Если одним из операндов является число, то элементы другого операнда (матрицы)

.* - поэлементное умножение матриц / - матричное деление справа

Запись b/a означает ba 1

./ - поэлементное деление справа

24

.* - поэлементное умножение матриц

--> g=a.*b g =

2 2

920

/- матричное деление справа

--> h=a/b h =

-0.1429 0.4286 0.4286 0.7143

проверка правильности выполнения операции

--> j=h*b j =

1.0000 2.0000

3.0000 4.0000

./ - поэлементное деление справа

--> k=a./b

\ - матричное деление слева

--> v=a\b

v=

-1.0000 3.0000 1.5000 -1.0000

проверка правильности выполнения операции

.\ - поэлементное деление слева

--> m=a.\b

m=

2.0000 0.5000

проверка правильности выполнения операции

--> a*a

26

ans =

7 10

15 22

--> x=b^(1/2) x =

.^ - поэлементное возведение в степень

--> y=a.^2

транспонирование матрицы

--> at=a' at =

13

24

Примечание. С матрицами можно строить выражение с использованием арифметических функций. При этом функция будет вычисляться от каждого элемента матрицы.

2.4. Работа с блочными матрицами

Среда Scilab позволяет работь с блочными матрицами, что иногда бывает очень полезным.

используя команду

--> [ a b ; d c] <Enter>

27

При построении блочной матрицы размеры соответствующих блоков должны быть согласованы.

Одной еще интересной возможностью является разбиение матрицы на блоки используя оператор двоеточие ( : ) для индексов матрицы.

k:n=[k k+1 k+2 … n-2 n-1 n], k<n

k:m:n=[k k+m k+2m … n-2m n-m n], если n-k нацело делится на m и m>0

2:5=[2 3 4 5] 2:2:12=[2 4 6 8 10 12]

k:-1:n=[k k-1 k-2 … n+2 n+1 n], k>n

k:m:n=[k k-m k-2m … n+2m n+m n], если k-n нацело делится на m и m<0

7:-1:3=[3 4 5 6 7] 13:-2:1=[13 11 9 7 5 3 1]

13:1=[ ] 2:-1:7=[ ]

Рассмотрим это на примере:

Конструкция [1 3] означает, что из матрицы a будут выбраны элементы с индексами 1 и 3. Например

--> a([1 2 3],[1 2 3])

или

--> a(1:3,1:3)

будем соответствовать всей матрице. А команды

--> a([3 2 1],[3 2 1])

или

--> a(3:-1:1,3:-1:1)

28

Для построения из матрицы a матрицы с вычеркнутой 2-ой строкой можно поступить следующим образом:

--> b=a([1 3], : )

или

--> b=a([1 3], 1:3)

Другим способом удаления строки или столбца является помещение на его место пустой матрицы [ ].

--> a(2, :)=[ ]

Какой способ является предпочтительным, зависит от типа конкретной решаемой задачи.

Используя описанные выше команды можно вычислять миноры матрицы. Рассмотрим

строке:

d=a(1,1)*(-1)^(1+1)*det(a(2:3,2:3))+ a(1,2)*(-1)^(1+2)*det(a(2:3,[1 3]))+ a(1,3)*(-1)^(1+3)*det(a(2:3,1:2))

Здесь det( ) обозначает функцию вычисления определителя матрицы.

Реализуем метод Крамера для вычисления решения x системы

Ax b

где

29

последовательность команд будет такой

--> da=det(a)

--> x1=det([b a(:,2:3)])/da --> x2=det([a(:,1) b a(:,3)])/da --> x3=det([a(:,1:2) b])/da --> x=[x1;x2;x3]

Для проверки необходимо проверить вектор невязки на нуль

Ax b 0 ?

т.е. выполнить команду

--> e =a*x-b

По-другому метод Крамера можно было бы реализовать так

--> da=det(a)

--> сa=a, ca(:,1)=b --> x1=det(ca)/da --> сa=a, ca(:,2)=b --> x2=det(ca)/da --> сa=a, ca(:,3)=b --> x2=det(ca)/da --> x=[x1;x2;x3]

2.5 Создание стандартных матрицы в среде Scilab

Определение размеров матрицы можно делать с помощью функции size --> [n,m]=size(A)

n = 3

m=

3

Для определения длины вектора наряду с функцией size можно использовать функцию length

30

В среде Scilab имеется три функции, позволяющие создавать следующие матрицы: Для создания единичной матрицы порядка n можно использовать команду eye(n)

--> E=eye(3,3)

Команда

--> E=eye(2,3)

создает матрицу

Для создания матрицы порядка n состоящей из единиц можно использовать команду ones(n)

--> I=ones(3,3)

Команда

--> I=ones(3,2)

создает матрицу

Для создания матрицы порядка n состоящей из нулей можно использовать команду zeros(n)

--> Z=zeros(3,3)

31

Команда

--> Z=zeros(1,3)

создает матрицу

Z =

0 0 0

2.6 Функции для обработки матриц

Функция det используется для вычисления определителя матрицы

--> a=[1 2; 2 1]; --> d=det(a)

d=

= - 3

Функция rank используется для вычисления ранга матрицы

--> a=[1 2; 2 1]; --> r=rank(a) r=

= 2

Функция inv используется для вычисления обратной матрицы

--> a=[1 2; 2 1]; --> ia=inv(a)

ai =

Используя эту функцию, можно решать систему линейных алгебраических уравнений ax b с помощью команды

--> x=inv(a)*b

В качестве альтернативы такого способа решения можно предложить два других

32

Функция sum используется для суммирования элементов матрицы и вектора :

Суммирование элементов вектора

--> b=[1 2 3] --> s=sum(b) s =

6

Суммирование элементов столбцов

--> a=[1 2;

Суммирование элементов строк

-->s=sum(a,2) s =

3

7

Функция prod используется для вычисления произведения элементов матрицы и вектора

:

Вычисление произведения элементов вектора

--> b=[1 2 3] --> p=prod(b) p =

6

Вычисление произведения элементов столбцов

--> a=[1 2; 3 4]

-->p=prod(a,1) p =

33