Частные производные функций многих переменных

Частная производная функции по переменной в точке – предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при :(аналогично определяется производная по).

Обозначения: частная производная по :,,;частная производная по : точке:,,.

Замечание. Частная производная по – обычная производная попри фиксированном. Частная производная по– обычная производная попри фиксированном значении.

Пример. Для имеем: ,.

Необходимое условие экстремума.Если функцияимеет непрерывные производные иэкстремумв точке , то.

Градиент

Градиент функции – вектор из ее частных производных – характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в заданной точке.

Градиент функции двух переменных в точке – это .

Градиент функции в точке перпендикулярен линии уровня функции , проходящей через эту точку.

Пример. Найти градиент функции в точке .

Решение. 1) Найдем частные производные: ,.

2) Вычислим частные производные в точке : ,.

3) Составим из полученных значений градиент .

Частные производные второго порядка – это производные от производных.

Для функции двух переменных – это ,,,.

Матрица Гессе – матрица из вторых производных функции.

Для функции двух переменных – это .

Пример. Построить матрицу Гессе функции в точке (-1, 1).

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка: ,.

2) Найдем частные производные второго порядка:

, ,

, .

3) Строим матрицу Гессе . Вычисляем в заданной точке.

Достаточное условие минимума (максимума) в точке – главные миноры матрицы Гессе положительны (чередуют знаки, начиная со знака «минус»).

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на множестве 1) Построить множество .

2) Найти точки экстремума функции , выбрать из них те, которые попадают внутрь множества, и вычислить значение функции в этих точках.

3) Последовательно подставляя в функцию уравнения линий, ограничивающих множество, найти наибольшие и наименьшие значения получающихся функций одной переменной на границе множества и вычислить значения функциив этих точках.

4) Из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти max и min функции на множестве

Решение. 1) – прямоугольный треугольник, ограниченный прямыми,,.

2) Функция имеет стационарные точкиив области , , вычислим:,.

3) Исследуем значения функции на границе множества .

Подставим уравнение прямой в  функциюи уравнение границы. Получится функция,. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке:, тогда. Обозначим точку. Вычислим значение функции в этой точке:. При(точка) значение функции. При(точка); значение функции.

Подставим уравнение прямой в функциюи уравнение границы. Получится функция,. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке:, тогда, то есть получилась точка;. При(точка) значение функции:. Приполучается точка,.

Подставим уравнение прямой в функцию, тогда она примет вид,. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Уравнениевещественных корней не имеет. Следовательно, функцияна отрезкене имеет стационарных точек. Приполучается точка,. Приполучается точка,.

4) Выпишем полученные значения функций: ,,,,,. Следовательно, наибольшего значенияфункция достигает в точке, а наименьшегов точкахи.

13