- •Понятие функции
- •Свойства функций
- •Предел функции
- •Производные
- •Правила вычисления производных
- •Правило Лопиталя для вычисления пределов
- •Исследование функции одной переменной на монотонность и на экстремум
- •Исследование функции одной переменной на выпуклость
- •Экономические показатели
- •Эластичность функции
- •Частные производные функций многих переменных
- •Градиент
Понятие функции
Определение 1. Пусть и – непустые множества (произвольной природы!). Если каждому элементу (аргументу, переменной) по определенному правилуставится в соответствие единственный элемент(значение), то говорят, что на множествезаданафункция (илиоднозначное отображение). При этом: используется обозначение ,=– область определения функции (=– область значений, если для каждогонайдется такой аргумент, что).
Частные случаи:
по размерности значения:
вещественная (скалярная, числовая) функция – значения числовые ();
векторная функция – значения векторные ();
по размерности аргумента:
функция одной переменной – значения числовые ();
функция многих переменных – значения векторные ().
Многочлен (полином) порядка – функция вида 1), 3):,.
Определение 2. Если функция задана на множестве, а функциязадана на множествеи имеет область значений, то функция, заданная на множестве, –сложная функция.
Определение 3. Множество точек (линия или поверхность),,, –график функции . Обозначается.
Частные случаи: 1) график вещественной функции одной вещественной переменной – линия на декартовой плоскости (такую линию каждая вертикальная прямая пересекает не более 1 раза);
|
2) график вещественной функции двух вещественных переменных – поверхность в трехмерном пространстве. |
Примеры функций многих переменных в экономике:
1) Функция полезности от двух приобретенных товаров
а) ,где (),,;
б) ,где ,(),,;
в) функция Р. Стоуна , где() – минимально необходимое количество-го блага,() – относительные ценности благ для потребителя.
2) Производственная функция выражает результат производства от труда и капитала:
а) функция Кобба–Дугласа; б) функцияSEC .
Определение 4. Множество аргументов, при которых вещественная функция многих переменных принимает одинаковые значения, – поверхность уровня функции. Если, в частности, дана функция двух переменных , то множество точек, в которых,, – это линия уровня данной функции.
На рисунке – семейство гипербол – линий уровня ,для, построенных перебором значенийс некоторым шагом.
Семейство линий уровня дает представление о «рельефе» графика функции (подобно географической карте).
Пример. Найти линии уровня функции .
Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , заданное уравнением. Преобразуем это уравнение: выделим полный квадрат по каждой переменной. Тогдаили. Полученное уравнение описывает семейство окружностей с центром в точкерадиуса().
Свойства функций
Определение 1. Функция называетсячётной (нечётной), если вместе со всяким и выполняется равенство().
График скалярной четной (нечетной) функции одной переменной расположен симметрично относительно оси (начала координат).
Определение 2. Функция называетсяпериодической, если существует Т>0, что вместе со всяким и.
Свойства Т-периодической функции достаточно определить на любом промежутке длиной Т из.
Определение 3. Скалярная функция одной переменной называетсявозрастающей (убывающей) на множестве , если для любыхиз неравенстваследует неравенство(). Если неравенство для значений функции строгое, то монотонность – строгая.