Matematika_Abramov / 2_интегралы_1-6

Первообразная и неопределённый интеграл

Функция – первообразная для функции на промежутке , если для любого .

Например, или , , .

Совокупность всех первообразных для на – неопределённый интеграл функции на .

Обозначается , где – знак неопределённого интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – переменная интегрирования.

Свойства неопределённых интегралов

1.	Операции интегрирования и дифференцирования – взаимно обратные результат интегрирования можно проверить с помощью дифференцирования.
2.
3. ,	Числовой множитель можно вынести за знак интеграла.
4.	Интеграл суммы равен сумме интегралов.

Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций

1.	13.
2.	14.
3.
4.	15.
5.	16.
6.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.
11.	21.
12.	22.
23. ,		– рекуррентная формула – применяется раз, а затем применяется формула 16 для .

Пример

1. Интегрирование с использованием таблицы неопределённых интегралов.

Пример.

2. подстановка и замена переменной

«Характерную часть» функции под интегралом обозначаем новой буквой:

Подстановка реализуется через «внесение под знак интеграла».

Пример.

Проверка: – верно!

Линейная подстановка: .

Пример. .

Замечание. , , – сводятся с помощью линейной подстановки к табличным интегралам (16 или 18, 12 или 19, 20 или 21) после выделения полного квадрата.

Если интегрируема на промежутке , а функция дифференцируема и строго монотонна на промежутке , то – правило замены переменной.

Пример

Замечание. После интегрирования требуется вернуть исходную переменную!!!

3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке . Тогда

или кратко .

Замечание. Подынтегральную функцию представляем как произведение функций (при дифференцировании желательно ее «упрощение») и (на должна удобно интегрироваться!).

Классы функций, которые удобно интегрировать по частям:

1. , , , , где – многочлен степени :

выбираем , оставшаяся часть – ;

Пример. .

2. , , , , :

выбираем , оставшаяся часть – ;

Пример

4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональная функция имеет вид , и – многочлены степеней и .

Алгоритм интегрирования дробно-рациональных функций

1. Если , то дробь правильная переходим к п. 2. Если , то дробь неправильная делением на (столбиком) можно выделить целую часть (многочлен степени ) и правильную часть:

2. Правильная дробь (методом неопределенных коэффициентов) сводится к сумме простых дробей видов:

1) , 2) , 3) , 4) ,

где – условие неразложимости квадратного трехчлена на множители.

3. Проинтегрировать целую часть дроби (если она есть) и каждую простую дробь. Сложить интегралы.

Интегрирование простых дробей ()

1. . 2. .

3. .

4.

– далее по рекуррентной формуле 23.

Пример. Вычислить интеграл .

1. Под знаком интеграла – правильная рациональная дробь ().

2. Разложим знаменатель на множители: – это и есть знаменатели простых дробей.

Разложим подынтегральную дробь в сумму простых дробей:

. Для и получим линейную систему Значит, , .

3.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. 1. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь (<). Делим числитель на знаменатель: .

2. Для разложения правильной части дроби в сумму простых дробей разложим знаменатель на множители: , чтобы узнать знаменатели простых дробей: . Найдём числа , , и (неопределённые коэффициенты). Приведём слагаемые к общему знаменателю, сгруппируем подобные: . Коэффициенты при одинаковых степенях :

. Итак, .

3.

Обыкновенные Дифференциальные уравнения (ДУ)

Обыкновенное ДУ связывает искомую функцию одной переменной с ее производными или дифференциалами. Например, – ДУ первого порядка, – ДУ второго порядка и т.д.

– (частное) решение ДУ, если эта функция обращает ДУ в тождество на некотором интервале.

Пример. – решение ДУ , так как при всех .

Совокупность всех решений ДУ – общее решение (из него можно получить любое частное).

Если в итоге процесса отыскания решения (процесса интегрирования) найдена неявная связь между переменными, входящими в ДУ, то полученное соотношение – интеграл ДУ.

Замечание. В теории ДУ знаком неопределенного интеграла принято обозначать первообразную.

ДУ первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (УРП)

УРП в нормальной форме . Общий интеграл:

Пример. – УРП в нормальной форме, так как оно имеет вид , ,.

Пусть . Тогда . Чтобы разделить переменные умножим на . Получаем – уравнение в симметричной форме с разделенными переменными (в каждой части равенства – только одна переменная). Так как дифференциалы функций в левой и в правой частях равны, то сами функции могут отличаться на произвольное постоянное слагаемое. Проинтегрируем: или – общий интеграл (общий, т.к. при вычислениях не было ограничений). Из него можно получить общее решение: .

Замечание. Подстановка приводит ДУ к УРП .

УРП в симметрической форме: .

Общий интеграл:

Определённый интеграл

Пусть функция определена и ограничена на отрезке .

1. Произвольно разбиваем на n частей: .

2. Произвольно выбираем в каждой части промежуточную точку : , .

3. Составляем для на интегральную сумму (п. 1 и 2 – способ составления суммы).

Обозначаем диаметр разбиения – наибольшую из длин частичных отрезков .

Замечание. Если , то количество частей отрезка .

Определение (Риман). Число (если предел существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы) – определённый интеграл от на . Обозначается: .

Пример. –зависимость объема производства от времени. Тогда объем выпускаемой продукции за время составит .

– среднее интегральное значение функции.

С геометрической точки зрения: если 0 на , то – площадь «криволинейной трапеции» (фигуры под графиком функции).

Свойства определённого интеграла

1. . В частности, .		2.	– свойство аддитивности по промежутку интегрирования.
3.	– числовой множитель выносится за знак интеграла.	4.	– свойство аддитивности по подынтегральной функции.
5. на . В частности, , если 0 на

.

Вычисление определённого интеграла

Формула Ньютона-Лейбница: , где – любая первообразная для .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница к предварительно находим соответствующий неопределенный интеграл и, отбросив константу , выделяем первообразную .

Пример 1. .

Пример 2. Вычисление определенного интеграла по частям:

.

Если фигура ограничена сверху графиком функции , а снизу – графиком функции , то площадь этой фигуры вычисляют по формуле .

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. 1) Построим графики функций , .

2) Найдем пределы интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения кривых и . Приравнивая ординаты функций, имеем

3) Вычислим площадь фигуры:

.