4. Нормальное распределение

Предельное распределение f(x) результатов измерения некоторой величины x дает вероятность получения любого данного значения x. Интеграл – есть вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, лежащему внутри интервалаaxb. Если предельное распределение есть функция Гаусса, то этот интеграл можно вычислить. В частности, можно вычислить вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения σ от истинного значения X.

P_{(в пределах σ)}=; (14)

P_{(в пределах σ)}=. (15)

Смысл этого интеграла проиллюстрирован на рис. 2:

Площадь между X – tσ и X + tσ равна вероятности того, что результат измерения будет лежать в пределах t стандартных отклонений от X.

Этот интеграл можно привести к более простому теперь уже обычной для нас подстановкой (x-X)/σ=z. В этом случае dx=σdz и пределы интегрирования становятся равными ±1. Следовательно,

P_{(в пределах σ)}=. (16)

В общем случае можно вычислить вероятность P_{(в пределах tσ)}, что означает «вероятность того, что результат будет лежать в пределах tσ от X», где t – любое положительное число. Эта вероятность показана заштрихованной площадью на рисунке, и расчет, аналогичный приведшему к (15), дает

P_{(в пределах tσ)}=. (17)

Интеграл – стандартный интеграл математической физики; он часто называется функцией ошибок, обозначаемой erf(t), или нормальным интегралом ошибок. На рис. 3 его значения представлены графически и приведены несколько его значений:

Таблица 1

t	0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Р,%	0	20	38	55	68	79	87	92	95,4	98,8	99,7	99,95	99,99

Как можно заметить, вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от истинного результата, составляет 68%. Если мы будем рассматривать стандартное отклонение как нашу погрешность в измерениях (т.е. запишем x= x_наил±δx и примем δx =σ), то мы можем быть на 68% уверены, что наш результат будет в пределах σ от правильного результата.

Число 68% – это просто доверительный уровень, связанный со стандартным отклонением σ. Альтернативой стандартному отклонению может служить так называемая вероятная ошибка (ВО), которая определяется как такое отклонение, когда результат измерения с вероятностью 50% окажется внутри интервала XВО. Из рис. 3 можно увидеть, что вероятная ошибка равна ВО0,67.

5. Критерий χ2 для распределений

Будем рассматривать вопрос о том, как решить, подчиняются ли результаты данного эксперимента ожидаемому предельному распределению. Предположим, что выполнен эксперимент, для которого, известно ожидаемое распределение результатов. Далее, эксперимент повторяют еще несколько раз и регистрируют результаты наблюдений. Как определить, согласуется ли наблюдаемое распределение с ожидаемым теоретическим распределением? На этот вопрос можно ответить, используя простую процедуру, называемую критерием χ².

1. Введение в критерий χ²

Предположим, что сделано 40 измерений x₁,...,x₄₀ длины траектории х пули, вылетающей из некоторого ружья. Результаты этих измерений распределены в соответствии с законом Гаусса f_x,σ(x), со значениями X и σ Расчет наилучших оценок для этих величин по 40 результатам измерений:

(наилучшая оценка X)==,(18)

(наилучшая оценка σ)=. (19)

Чтобы выяснить, удовлетворяет ли фактическое распределение результатов x₁, …, x₄₀ сделанному выше предположению, необходимо рассчитать, как были бы распределены 40 результатов, если бы гипотеза была верна, и сравнить это ожидаемое распределение с фактически полученным распределением. Первая трудность заключается в том, что x есть непрерывная переменная, поэтому нельзя говорить об ожидаемом числе измерений для какого-то одного значения x. Вместо этого следует говорить об ожидаемом числе в некотором интервале a<x<b, т.е. необходимо поделить весь интервал возможных значений на бины. В случае 40 измерений границы бинов можно выбрать при X-σ, X и X+σ, определяя таким образом четыре бина.

ВероятностиP₁, …, P₄ того, что результаты попадут в каждый из четырех бинов (k=1, …, 4), равны соответствующим четырем площадям, показанным под функцией Гаусса:

Обозначим число результатов измерений, которые попадают в каждый бин k через O_k . (Для данных примера наблюдаемые числа О₁, О₂, О₃, О₄.) Далее, предполагая, что результаты измерений распределены нормально, можно рассчитать ожидаемое число E_k результатов измерений для каждого бина k. Затем необходимо решить, насколько хорошо наблюдаемые числа O_k согласуются с ожидаемыми числами E_k.

Вероятность того, что результат любого одного измерения попадает в интервал a<x<b, равен площади под функцией Гаусса между x=a и x=b. В примере вероятности P₁, P₂, P₃, P₄ попадания результата измерения в каждый из четырех бинов – это четыре площади, показанные на рисунке. Две равные площади P₂ и P₃ вместе дают хорошо известное значение 68%, так что вероятность попадания в один из двух центральных бинов составляет 34%, (P₂=P₃=0,34). Две внешние площади представляют оставшиеся 32%; (P₁=P₄=0,16). Чтобы найти ожидаемые числа E_k, нужно просто умножим эти вероятности на полное число измерений N=40. Эти ожидаемые числа приведены в табл.2.

Таблица 2. Ожидаемые числа E_kи наблюдаемые числа O_kдля 40 измерений

Бин k	1	2	3	4
Вероятность Pk, %	16	34	34	16
Ожидаемое число Ek=N*Pk	6,4	13,6	13,6	6,4
Наблюдаемое число Ok	8	10	16	6

Необходимо решить насколько хорошо ожидаемые числа E_k согласуются с соответствующими наблюдаемыми числами O_k. Если гипотеза о том, что результаты измерений распределены нормально, правильно, то отклонения

(O_k - E_k ) (20)

будут малы.

Если представить, что вся серия из 40 измерений повторяется много раз, то числа O_k результатов измерений в любом одном бине k можно рассматривать как результат счетного эксперимента. Множество различных результатов для O_k должно иметь среднее значение E_k и флуктуировать относительно E_k со стандартным отклонением порядка . Таким образом, необходимо сравнить, два числа: отклонение (O_k-E_k) и ожидаемую величину его флуктуаций .

. (21)

Для некоторых бинов k это отношение будет положительным, для других – отрицательным; для малого числа бинов k оно может существенно превышать единицу, но для большинства бинов оно должно быть порядка единицы или меньше. Чтобы проверить гипотезу требуется число (21) возвести в квадрат для каждого k и затем просуммировать по всем бинам k=1,…,n (в данном случае n=4).

χ²=. (22)

Должно быть ясно, что число χ² служит показателем того, насколько хорошо согласуются наблюдаемое и ожидаемое распределения. Если χ²=0, то согласие идеальное, т.е. O_k=E_k для всех бинов k. В общем отдельные члены в сумме (22) должны быть порядка единицы, а в сумме всего n членов,т.е.

χ²n, (23)

(χ² порядка n или меньше), то наблюдаемое и ожидаемое распределения согласуются настолько хорошо, насколько можно было бы ожидать.

2. Общее определение χ²

Пусть измеряется какое-то число x и для которого есть основания ожидать некоторое определенное распределение результатов. Эксперимент повторяется много раз (N), и, поделив интервал возможных значений x на n бинов, k=1, …, n, можно подсчитать числа O_k наблюдений, когда результат попадает в каждый бин k. Предполагая, что результаты измерений действительно распределены в соответствии с ожидаемым распределением, вычисляются ожидаемые числа E_k измерений для k-того бина, и χ² будет определяться следующим образом:

χ²=(24)

Если χ²n, то согласие между наблюдаемым и ожидаемым распределениями приемлемое, если χ²n, то имеется существенное расхождение.

Процедура выбора бинов для слагаемых, по которым вычисляется χ², в некотором отношении зависит от характера эксперимента. В частности, она зависит от того, непрерывна или дискретна измеряемая величина x.

Измерения непрерывной переменной

Единственное предельное распределение, которое мы рассмотрели в случае непрерывной переменной, - это распределение Гаусса. В случае многих атомных и ядерных экспериментов ожидаемое распределение измеряемой переменной x (энергии) – это распределение Лоренца:

f(x)~, (25)

где X и γ – некоторые постоянные. Каким бы ни было ожидаемое распределение f(x), полная площадь под графиком f(x) всегда равна 1, и вероятность того, что результат измерения попадает между x=a и x=b, - это площадь под графиком между a и b:

P(a<x<b)=. (26)

Таким образом, если k-й бин имеет размеры от x=a_k до x=a_k+1, то ожидаемое число измерений в k-м бине (после выполнения всех N измерений) будет равно

E_k=. (27)

Ожидаемые числа E_k не должны быть слишком малы. Хотя и не существует определенной нижней границы, однако

E_k5. (28)

Следовательно, следует выбирать бины таким образом, чтобы _k, определяемые (27), удовлетворяли этому условию. Нельзя использовать критерий χ² в такого рода экспериментах, если полное число наблюдений меньше 20.

Изменение дискретной переменной

На практике наиболее часто встречающаяся дискретная переменная – целое число. Обозначим дискретную переменную через ν вместо x. В любом эксперименте с дискретной переменной бины можно выбирать так, чтобы каждый содержал только один результат при условии, что ожидаемое число реализаций в каждом бине составляет, по крайней мере, 5. В противном случае несколько различных результатов следует сгруппировать в один бин большего размера.

3. Другие формы χ²

χ²=. (29)

χ² – сумма квадратов, служит показателем согласия между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями некоторой переменной. При хорошем согласии χ² будет порядка n, при плохом χ² будет много больше, чем n.

4. Степени свободы и приведенное значение χ2

Однако более строгой процедурой было бы сравнение χ² не с числом бинов n, а с числом степеней свободы d, в статических расчетах определяемым как число полученных данных за вычетом числа параметров, вычисленных по этим данным и используемых в расчетах.

Введём понятие приведенного значения χ² (или χ² на одну степень свободы), которое мы обозначим через и определим как

=. (30)

Поскольку ожидаемое значение χ² равно d, получаем

(ожидаемое среднее значение)=1 . (31)

Таким образом, критерий можно сформулировать следующим образом: если значение порядка единицы или меньше, то нет оснований сомневаться в ожидаемом распределении; если значениемного большее, чем единица, то ожидаемое распределение не верно.