2. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия D и коэффициент вариаций k_В:

; (1)

. (2)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше D, тем больше разброс измерений. Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше k_В, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений, k_В оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значений x_i, в который попадает истинное значение x_D измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону . Эта величина определяется в долях единицы или в процентах. Доверительная вероятность p_D описывается выражением

, (3)

где (t) – интегральная функция Лапласа (прил.1), определяемая выражением

. (4)

Аргументом этой функции является отношение  к среднеквадратичному отклонению , т.е.

, (5)

где t – гарантийный коэффициент;

, .

Если же на основе определённых данных установлена доверительная вероятность p_Д (часто ее принимают равной 0,90;0,95;0,9973), то устанавливается точность измерений (доверительный интервал 2) на основе соотношения p_Д=(/). Половина доверительного интервала равна

,(6)

где – аргумент функции Лапласа, а при n<30 – функции Стьюдента (прил.2). Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

Пусть, например, выполнено 30 измерений прочности дорожной одежды участка автомобильной дороги при среднем модуле упругости одежды Е=170⁰С и вычисленном значении среднеквадратичного отклонения =3,1⁰С.

Требуемую точность измерений можно определить для разных уровней доверительной вероятности (p_Д =0,9;0,95;0,9973), приняв значения t по прил. 1. В этом случае соответственно =3,11,65=5,1МПа; =3,12,0=6,2МПа; =3,13,0=9,3МПа. Следовательно, для данного средства и метода доверительный интервал возрастает примерно в два раза, если увеличить p_Д только на 10%.

Если необходимо определить достоверность измерений для установленного доверительного интервала, например МПа, то по формуле (5)t=/=7/3,1=2,26. По прил.1 для t=2,26 определяем p_Д=0,97. Это означает, что в заданный доверительный интервал из 100 измерений не попадают только три.

Значение (1-p_Д) называют уровнем значимости. Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из n_и измерений, где

n_и= p_Д /(1- p_Д), (7)

или иначе приходится браковать одно из n_и измерений.

По данным приведенного выше примера можно вычислить количество измерений, из которых одно измерение превышает доверительный интервал. По формуле (5) при p_Д=0,9; определяется n_и=0,9/(1-0,9)=9 измерений. При p_Д, равной 0,95 и 0,9973, соответственно 19 и 367 измерений.