3. Определение минимального количества измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положительном исходе. В связи с этим первоочередной задачей при статических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерений для данных условий. Задача сводится к установлению минимального объёма выборки (числа измерений) N_min при заданных значениях доверительного интервала 2 и доверительной вероятности. При выполнении измерений необходимо знать их точность:

, (8)

где ₀ - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения , (9)

Значение ₀ часто называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки измерения  определяется аналогично для измерений . С помощьюt легко определить доверительную вероятность ошибки измерений из прил. 1.

В исследованиях часто по заданной точности  и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значения  и p_Д.

Аналогично уравнению (6) с учетом (8) можно получить

. (10)

При N_min=n получаем

, (11)

здесь k_B– коэффициент вариации (изменчивости), %;

- точность измерений, %.

Для определения N_min может быть принята такая последовательность вычислений:

1) проводится предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоёмкости опыта от 20 до 50;

2) вычисляется среднеквадратичное отклонение  по формуле (1);

3) в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливается требуемая точность измерений , которая не должна превышать точности прибора;

4) устанавливается нормированное отклонение t, значение которого обычно задается (зависит также от точности метода);

5) по формуле (11) определяют N_min и тогда в дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше N_min.

Пусть, например, при приёмке сооружений комиссия в качестве одного из параметров измеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять 25 измерений; допускаемое отклонение параметра 0,1м. Если предварительно вычисленное значение =0,4м, то можно определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр. Согласно инструкции =0,1м. Из формулы (11) можно записать . В соответствии с прил.1 доверительная вероятность для t=1,25p_Д=0,79. Погрешность, превышающая доверительный интервал 2=0,2м, согласно выражению (7) будет встречаться один раз из 0,79/(1-0,79)=3,37, т.е. из четырёх измерений. Это недопустимо. В связи с этим необходимо вычислить минимальное количество измерений с доверительной вероятностью p_Д, равной 0,9 и 0,95. По формуле (11) имеем N_min=0,4²1,65²/0,1²=43 измерения при p_Д =0,90 и 64 измерения при p_Д=0,95, что значительно превышает установленные 25 измерений.

Оценки измерений с помощью  и ₀ по приведённым методам справедливы при n>30. Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае (практически при n>20) переходят в кривые нормального распределения (рис. 1).

Для малой выборки доверительный интервал

_ст=₀_ст, (12)

где _ст – коэффициент Стьюдента, принимаемый по прил.2 в зависимости от значения доверительной вероятности p_Д.

Знаяст, можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:

х_Д=_ст. (13)

Возможна и иная постановка задачи. По n известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность p_Д при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы _ст.

Задачу решают в такой последовательности:

1) вычисляется среднее значение ,₀ и _ст=_ст/₀,

2) с помощью величин _ст, и n и прил. 2 определяют доверительную вероятность.