Физика (3 семестр) mobile

, где угол между вектором электрической индукции и нормалью к поверхности нити равен 90 градусов, следовательно,

2. Найти поле сферы с радиусом , заряженной равномерно с поверхностной плотностью .

Исследуем области, в сферической системе отсчёта

Описание свойств векторных полей.

В математике существует теорема Остроградского-

Гаусса. Согласно ей, поток любого вектора сквозь замкнутую поверхность равен:

∫

, где – дивергенция (из Википедии:

дифференциальный оператор, показывающий, насколько расходятся входящий и исходящий потоки в данной точке

векторного поля) вектора ; – объём, ограниченный поверхностью .

Рассмотрим поле вектора электрического смещения:

∫

, но:

, тогда:

, после подведения имеем:

Тождественное равенство нулю возможно в случае:

Уравнение (5) – обобщение закона Кулона в дифференциальной форме (теорема Гаусса в дифференциальной форме).

В векторном анализе показано, что отношение какого-

Физический смысл понятия дивергенция: поток из точки или из бесконечно малого объёма. С помощью этого понятия можно исследовать пространство на наличие источников поля A.

Если , то в исследуемой точке находится источник поля.

Если , то в исследуемой точке пространства источников поля нет.

Как вычислить дивергенцию:

Дивергенция любого вектора вычисляется, как:

,где (набула) – оператор Гамильтона.

для декартовых координат:

Тогда:

Электростатика рассматривает процессы, неизменные во времени:

, а также поля, создаваемые неподвижными зарядами. Если заряд неподвижен, то плотность токопроводимости равна нулю:

Потенциал электростатического поля:

Имеем неподвижный заряд , который создаёт в пространстве поле, напряжённость которого равна:

В этом поле перемещаем другой точечный заряд от положения 1 в положение 2. В каждой точке поля от заряда

Работа, совершённая силами поля при перемещении заряда выражается криволинейным интегралом:

∫ [ ] ∫

Из формулы (3) видно, что работа не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положением заряда (координатами).

Силовые поля, удовлетворяющие такому условию,

называются потенциальными, следовательно, электростатическое поле точечного заряда – потенциально.

В общем случае любую систему зарядов можно мысленно разделить на элементарные части, каждая из которых может рассматриваться как точечный заряд. В число таких зарядов входят и индукционные заряды на проводниках и диэлектриках, поэтому любое электростатическое поле, вне зависимости от того, создаётся оно в вакууме или диэлектрике, потенциально.

Пусть в электростатическом поле заряд переносится из точки 1 в точку 2 сначала по пути 1-3-2, затем по пути 1-4-2.

Следовательно при перемещении заряда по замкнутому пути работа поля равна нулю. Если перемещаем единичный заряд, то:

[ ]

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряжённости по замкнутому контуру .

Это приводит к другому определению потенциального поля, эквивалентному данному выше: векторное поле вектора напряжённости называется потенциальным, если циркуляция вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю.

Уравнение (4) – второе фундаментальное уравнение электростатики. Из этого уравнения следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми.

Работа сил консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

Сравнивая уравнения (5) и (3), получим выражение для потенциальной энергии заряда в поле заряда :

Константа в уравнении (6) выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия обращалась в ноль.

Пусть заряд - пробный. Тогда из уравнения (7) видно, что потенциальная энергия, которой обладал пробный заряд, зависит не только от величины пробного заряда, но и от величины заряда, создающего поле, и от расстояния между зарядами, следовательно, потенциальная энергия может быть использована для описания поля подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд.

Разные пробные заряды будут обладать в одной точке поля разными потенциальными энергиями. Однако

отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда будет для всех зарядов одинаковым. Такая величина является потенциалом поля в данной точке и является энергетической характеристикой электростатического поля:

Потенциал поля точечного заряда:

Если поле создано суперпозицией точечных зарядов, то потенциал поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов.

∑

Заряд , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией:

Работа сил поля по перемещению из точки 1 в

точку 2 может быть выражена через разность потенциалов:

Если заряд из точки с потенциалом удалить на бесконечность, где потенциал равен нулю, то работа сил поля:

Таким образом, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность. Такую же работу нужно совершить против сил электростатического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.