Нижегородский Государственный Технический Университет

им. Р. Е. Алексеева

Реферат на тему:

«Элементы квантовой статистики»

Выполнили: ст. гр.10-БИО-1

Разова Елена

Пилькевич Дарья

Рыжкова Анна

Соловьёва Елена

Корепова Мария

Дарменюк Наталья

Проверила: Успенская Г. И.

Нижний Новгород

2011 г.

Содержание:

1. Квантовая статистика.

2. Квантовая теория теплоёмкости.

3. Фононы.

4. Сверхпроводимость.

1.Квантовая статистика.

         Свойства систем, состоящих из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики, изучаются в разделе статистической физики – квантовой статистике. Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат x, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса p_x, p_у, p_z, то состояние системы определяется заданием 6N переменных. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Подобное 6N-мерное пространство называется фазовым пространством.

Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом

dqdp = dq₁dq₂…dq_3Ndp₁dp₂…dp_3N,

где q - совокупность координат всех частиц, р - совокупность проекций их импульсов.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h³ (h — постоянная Планка). Пусть квантово-механическая система состоит из частиц, которые имеют одинаковые физические свойства. Такие частицы называются тождественными. Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|ψ|²) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Принимая во внимание физический смысл величины |ψ|², принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

|ψ(х1, х2)|2 = |ψ(х2, х1)|2,(формула1)

где х₁ и х₂ - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из данного выражения вытекает, что возможны два случая:

ψ(х₁, х₂) = ± ψ(х₂, х₁),

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет - антисимметричной.

В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: Частицы, спин которых равен полуцелому числу , описывается антисимметричными - функциями. Эти частицы называются частицами Ферми, или фермионами, а описывающая их статистика называется статистикой Ферми-Дирака.

Электроны, позитроны, протоны, нейтроны, атомы, ионы, атомные ядра, состоящие из нечётного числа элементарных частиц, имеют полуцелый спин.

Например: статистике Ферми-Дирака подчиняются

Частицы с целочисленным спином , описываются симметричными - функциями. Они называются частицами Бозе или бозонами. Применяемая к ним статистика называется статистикой Бозе-Эйнштейна. Ей подчиняются микрочастицы, состоящие из чётного числа элементарных частиц.

Например:

ядра дейтерия имеют спин, равный целому числу постоянных Планка . Частицы света (фотоны) имеют спин, равный нулю.

  Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q, p):

dW = f(q, p) dqdp. (9.1)

        Здесь dW - вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, p. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q + dq и p, p + dp.

        Функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирована на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

        Зная функцию распределения f(q, p), можно решить основную задачу квантовой статистики, которая заключается в определении средних значений величин, характеризующих рассматриваемую систему. Среднее значение любой функции таково:

.

        Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д.Гиббс. Она называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет следующий вид:

,

где A - постоянная, определяемая из условия нормировки к единице; n - совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Необходимо отметить, что f(E_n) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии E_n, т.к. данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний.

Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым.

                               

 Это распределение называется распределением Бозе - Эйнштейна. Здесь N_i  - среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией E_i, k - постоянная Больцмана, T-термодинамическая температура,  -химический потенциал;  не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех N_i  равна полному числу частиц в системе. Здесь   0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Распределение фермионов по энергиям имеет вид

                        

где N_i  - среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Е_i,  - химический потенциал. Здесь  может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел N_i). Это распределение называется распределением Ферми - Дирака.

 При малых (по сравнению с единицей) числах заполнения экспонента в знаменателе предыдущих формул много больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе можно пренебречь, в результате чего оба распределения приобретают вид

где А = ехр(μ/kТ). Таким образом, при малых числах заполнения распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Больцмана.

<N_i>=Ae^-Ei/(kT),

где A=e^μ/(kT)

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При A << 1, т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми – Дирака переходят в классическое распределение Максвелла - Больцмана.

Температурой вырождения Т₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. T₀ - температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> T₀, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.