Гармонические колебания и их характеристики.
Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).
где ω0 — круговая (циклическая) частота, А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω0t+φ) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.
Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е.
Откуда
Величина, обратная периоду колебаний,
т. е. число полных колебаний, которые
совершаются в единицу времени, называется
частотой колебаний.
,
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса.
Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания:
Из
последнего непосредственно вытекает
дифференциальное уравнение гармонических
колебаний
(где s = A cos(ω0t+φ)).
Внешний фотоэффект и его законы.
Внешним фотоэффектом называется испускание электронов металлом под действием света. Выбитые под действием света электроны назвыются фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими в цепи, называется фототоком.
законы фотоэффекта:
1)Максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется его частотой.
2)Для каждого металла существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света (максимальная длина волны), зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности, при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает.
3)При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещённости катода):
IН=b*Ф
где b – интегральная чувствительность фотокатода.
4)Фотоэффект безынерционен.
3. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.
y отклонение спустя время t, метр F отклоняющая сила, Ньютон
Fв восстанавливающая сила, Ньютон D жесткость, Ньютон/метр
m масса, килограмм ω круговая частота, радиан / секунда
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Поглощая фотон сэнергиейhv, электрон затрачивает ее на работу А выхода с кинетической энергиейЕкин=½mv2=hv- Авых. Она аналогична энергии ионизации и связи шарика в потенциальной яме (силы тяжести)с Екин=½mv2=Е-mgH, гдеH– высота барьера,определяет и задерживающее напряжение Ек-мах=eUз.Красная граница фотоэффекта означает электроны со скоростью Екин=½mv2=hv- Авых>0, с hvмин=Е=hc/λкр=Авыхили λкр=hс/Авых.
Одновременно теория относительности Эйнштейна1905 г.установила связь энергии, массы и импульса вещества по формуле Е=с√(p2+m2c2), включая связь энергии имассы покоявещества Е=mc2и импульс частиц без массыЕ=рс.
Свет и его частицы -фотоныв отличии от других частиц не имеют массы и состояния покоя (mо=0), заряда (электрически нейтральны),движутся со скоростью света независимо от систем отсчета (v=c).Энергия иимпульс фотонаE=hv,p=E/c=hv/c=h/λ.
Постоя́нная Пла́нка, обозначаемая как h, является физической постоянной, используемой для описания величины кванта действия в квантовой механике. H = 6,626 068 96(33) • 10−34 Дж∙c.
Пружинный маятник
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени: x = x(t). (1)
Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:
md2x /dt 2 = SF, (2) где m - масса тела.
Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.
В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде: F(x) = - dU (x)/dx, (3) где U = U(x) - потенциальная энергия деформированной пружины.
Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что: ЅxЅ<< l, где l - длина недеформированной пружины.
Приближенно справедлива зависимость: U(x) = k x2/2, (4) где коэффициент k называют жесткостью пружины.
Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы: F(x) = - kx. (5) – закон Гука.
Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой: Fтр = - r dx /dt, (6) где r - коэффициент трения.
С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:
md 2x /dt 2 + rdx /dt + kx = F(t), (7) где F(t) - внешная сила.
Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.
Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению: d2x /dt 2 + w02x = 0, (8)
где: w0 = sqrt (k /m) (9) Общее решение уравнения (8) имеет вид: x(t) = A cos (w0 t + a), (10)
где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.
Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени: mv2 / 2 + k x2 /2 = const. (11)
Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.
Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.
В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:
m d2x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12) где m - масса тела.
Общее решение уравнения (12) имеет вид:
x(t) = a exp(- bt) cos (wt + a), (13) где w = sqrt( wo2 - b2) (14) b = r /2 m (15)
- коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.
Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий
E = m v2 /2 + kx2/ 2 (16) изменяется с течением времени по закону: dE / dt = P, (17)
где P = - rv2 - мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.