Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)
.pdfrМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Рекомендовано Ученым советом Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева в качестве учебного пособия
для студентов всех специальностей
Нижний Новгород 2014
1
УДК 378 ББК 74
Ч 671
Р е ц е н з е н т профессор кафедры математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде
Н.С. Петрухин
Авторы: Катаева Л.Ю., Масленников Д.А., Лощилова Н.А., Белоцерковская И.Е., Галина Н.В., Федосеева Т.А., Ильичева М.Н.
Ч 671 Численные методы решения прикладных задач: учеб. пособие /
Л.Ю. Катаева и [др.]; Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева. – Нижний Новгород, 2014. – 283 с.
ISBN 978-5-502-00581-4
Учебное пособие включает материал, предназначенный для преподавателей и студентов базовой кафедры НГТУ «Экономическая теория и эконометрика», для преподавателей высших профессиональных учреждений, научных организаций, аспирантов и студентов, использующих численные методы в профессиональной деятельности.
Рис. 125. Табл. 37. Библиогр.: 22 назв.
УДК 378 ББК 74
ISBN 978-5-502-00581-4
©НГТУ, 2014
©Катаева Л.Ю., Масленников Д.А., Лощилова Н.А., Белоцерковская И.Е., Галина Н.В., Федосеева Т.А., Ильичева М.Н., 2014
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение ............................................................................................................. |
6 |
1. Теория погрешностей .................................................................................. |
8 |
1.1. Причины возникновения и классификация погрешностей ................. |
8 |
1.2. Абсолютная и относительная погрешности ................................... |
10 |
1.3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. |
|
Число верных знаков....................................................................... |
11 |
1.4. Округление чисел .............................................................................. |
12 |
1.5. Связь относительной погрешности приближенного числа с |
|
количеством верных знаков этого числа ...................................... |
13 |
1.6. Погрешность суммы .......................................................................... |
14 |
1.7. Погрешность разности ...................................................................... |
15 |
1.8. Погрешность произведения .............................................................. |
16 |
1.9. Число верных знаков произведения и частного ............................. |
17 |
1.10. Относительная погрешность степени............................................ |
17 |
1.11. Относительная погрешность корня ............................................... |
18 |
1.12. Общая формула для погрешности ................................................. |
19 |
1.13. Обратная задача теории погрешностей ......................................... |
20 |
1.14. Точность определения аргумента для функции, заданной |
|
таблицей ........................................................................................... |
20 |
1.15. Примеры ........................................................................................... |
21 |
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений ..................... |
26 |
2.1. Общие сведения ................................................................................. |
27 |
2.2. Метод Гаусса ...................................................................................... |
28 |
2.3. Метод простой итерации .................................................................. |
29 |
2.4. Метод Зейделя.................................................................................... |
30 |
2.5. Метод LU-разложения....................................................................... |
31 |
2.6. Метод отражений............................................................................... |
31 |
2.7. Матрица отражения и ее свойства ................................................... |
32 |
2.8. Алгоритм метода отражений ............................................................ |
33 |
2.9. Примеры ............................................................................................. |
35 |
2.10. Примеры применения СЛАУ в экономике ................................... |
52 |
3. Решение нелинейных уравнений ............................................................ |
69 |
3.1. Отделение корней .............................................................................. |
70 |
3.2. Метод половинного деления (дихотомии)...................................... |
71 |
3.3. Метод Ньютона (метод касательных) ............................................. |
72 |
3.4. Метод итерации ................................................................................. |
74 |
3.5. Метод золотого сечения.................................................................... |
78 |
3.6. Графическое решение уравнений .................................................... |
79 |
3.7. Примеры ............................................................................................. |
79 |
3.8. Пример применения нелинейных уравнений в экономике ........... |
93 |
4. Аппроксимация и интерполяция функций .......................................... |
97 |
4.1. Конечные разности различных порядков........................................ |
98 |
3 |
|
4.2. Таблица разностей ........................................................................... |
100 |
4.3. Обобщенная степень ....................................................................... |
101 |
4.4. Постановка задачи интерполирования .......................................... |
102 |
4.5. Первая интерполяционная формула Ньютона.............................. |
103 |
4.6. Вторая интерполяционная формула Ньютона.............................. |
105 |
4.7. Интерполяционные формулы Гаусса ............................................ |
107 |
4.8. Интерполяционная формула Лагранжа ......................................... |
108 |
4.9. Вычисление лагранжевых коэффициентов................................... |
111 |
4.10. Оценка погрешности интерполяционной формулы |
|
Лагранжа......................................................................................... |
112 |
4.11. Оценки погрешностей интерполяционных формул |
|
Ньютона.......................................................................................... |
114 |
4.12. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное |
|
интерполирование ......................................................................... |
115 |
4.13. Простейший подход к сглаживанию ........................................... |
116 |
4.14. Кусочно–кубические сплайны ..................................................... |
116 |
4.15. Леммы о сплайнах ......................................................................... |
117 |
4.16. Аппроксимация .............................................................................. |
117 |
4.17. Метод наименьших квадратов ..................................................... |
118 |
4.18. Примеры ......................................................................................... |
120 |
4.19. Пример применения аппроксимации и интерполяции |
|
функций в экономике .................................................................... |
145 |
5. Нахождение собственных чисел и векторов ....................................... |
150 |
5.1. Математическое обоснование метода ........................................... |
151 |
5.2. Метод итераций ............................................................................... |
153 |
5.3. Метод Леверрье-Фадеева ................................................................ |
153 |
5.4. Метод Данилевского ....................................................................... |
155 |
5.5. Примеры ........................................................................................... |
156 |
5.6. Пример применения нахождения собственных значений в |
|
экономике ....................................................................................... |
161 |
6. Численное интегрирование .................................................................... |
163 |
6.1. Семейство квадратурных формул Ньютона Котеса ................... |
166 |
6.2. Метод левых прямоугольников...................................................... |
168 |
6.3. Метод правых прямоугольников ................................................... |
168 |
6.4. Метод средних прямоугольников .................................................. |
169 |
6.5. Метод трапеций ............................................................................... |
169 |
6.6. Метод Симпсона (парабол)............................................................. |
170 |
6.7. Правило Рунге оценки погрешности ............................................. |
172 |
6.8. Вычисление интеграла с заданной точностью с помощью |
|
остаточного члена.......................................................................... |
172 |
6.9. Метод Монте-Карло. Реализация простого метода ..................... |
173 |
6.10. Квадратуры Гаусса ........................................................................ |
174 |
6.11. Примеры ......................................................................................... |
176 |
6.12. Примеры применения численного интегрирования в |
|
экономике......................................................................................... |
180 |
4 |
|
7. Решение однородных дифференциальных уравнений ..................... |
196 |
7.1. Метод Пикара......................................................................................................... |
198 |
7.2. Методы Рунге-Кутта........................................................................................... |
199 |
7.3. Неявные методы ................................................................................................... |
204 |
7.4. Примеры ........................................................................................... |
208 |
7.5. Примеры применения дифференциальных уравнений в |
|
экономике.............................................................................................................. |
210 |
8. Система дифференциальных уравнений............................................. |
225 |
8.1. Общие сведения ............................................................................... |
225 |
8.2. Линейные однородные системы дифференциальных |
|
уравнений ......................................................................................... |
226 |
8.3. Линейные неоднородные системы дифференциальных |
|
уравнений ......................................................................................... |
227 |
8.4. Численные методы решения систем дифференциальных |
|
уравнений ......................................................................................... |
227 |
8.5. Примеры ........................................................................................... |
232 |
8.6. Примеры применения решения системы дифференциальных |
|
уравнений в экономике................................................................... |
240 |
9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных |
|
методом сеток .......................................................................................... |
260 |
9.1. Общие сведения .................................................................................................... |
260 |
9.2. Использование метода сеток для решения параболический |
|
уравнений в частных производных ............................................... |
263 |
9.3. Примеры ........................................................................................... |
265 |
9.4. Использование методы сеток для решения гиперболических |
|
уравнений ......................................................................................... |
270 |
9.5. Использование метода сеток для решения эллиптических |
|
уравнений ......................................................................................... |
276 |
Библиографический список ....................................................................... |
281 |
5
Введение
Современное развитие экономических наук тесно связано с использованием компьютерной техники. До сих пор научные и инженерные расчеты остаются одной из важнейших задач в сфере приложения компьютеров. В настоящее время имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, а также способных производить аналитические математические преобразования. Пожалуй, наиболее известными сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), Mathcad (фирма MathSoft Inc), а также свободно распространяемые SciLab. В нашей книге будет предложен разбор задач в следующих программах: Microsoft Visual Studio, Microsoft Оffice Excel, Visual Basic в Excel.
В Excel реализована возможность создавать элементы, с помощью которых можно вызвать выполнение программы на языке программирования Visual Basic. Это такие элементы управления, как кнопки, флажки, выключатели, переключатели и т.д. Для создания элементов управления в версии Excel 2007 потребуется отобразить вкладку «Разработчик», если она еще не отображена. Делается это черезПараметры Excel Основные Показывать вкладку «Разработчик» на ленте. Для Excel 2010: Файл Параметры Настройка ленты ставим галочку напротив Разработчик. В Excel 2003 необходимо отобразить панель инструментов «Элементы управления». Делается это через: Меню-
Настройка-вкладка «Панели инструментов». В примерах программах используется элемент управления «Кнопка». Для ее создания включаем режим конструктора (в Excel 2007 он на вкладке «Разработчик», а в Excel 2003 на панели Visual Basic 
) и помещаем кнопку на рабочий лист, затем производим двойной щелчок по созданной кнопке. Excel перейдет в режим редактирования кода из интерфейса VBA и автоматически будет создана пустая процедура: Private Sub CommandButton1_Click().
CommandButton1 – это имя нашей кнопки. У Вас оно может отличаться. Теперь внутрь процедуры мы вписываем нашу программу на языке программирования Visual Basic. Для работы созданной нами программы выходим из интерфейса VBA и из режима конструктора. Далее нажимаем кнопку.
Использование компьютерной техники позволяет перейти от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов к
6
новой стадии работы детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту). Данный процесс может не только сократить потребность в реальных экспериментах, но и заменить их в ряде случаев. Основой вычислительного эксперимента является решение уравнений математической модели численными методами. Изложению численных методов посвящено немало книг [1-9]. Однако большинство из них ориентировано на студентов и исследователей математического и естественно-научного профиля. Книги, посвященные работе в различных математических пакетах, не имеют четкой привязки к конкретным практическим задачам. Поэтому в настоящее время ощущается потребность в книге, рассчитанной на студентов экономических специальностей: «Математические методы в экономике», «Прикладная информатика», «Статистика» и др., в которой были бы изложены не только классические численные методы и приведены математические задачи, но и рассмотрены способы решения задач на компьютере, а также даны некоторые примеры использования численных методов при решении экономических задач. Данное ученое пособие рассчитано на читателя, который занимается не разработкой численных методов, а их применением к прикладным задачам.
Большинство задач математического моделирования экономических процессов сводится либо к решению системы линейных уравнений или к нелинейным уравнениям, либо к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, или решению дифференциальных уравнений в частных производных методом сеток, поэтому эти разделы будут рассмотрены более подробно.
7
1.Теория погрешностей
Вдревнейшие времена люди обходились только счетом однородных объектов – голов скота, числа воинов и т.п. Не было потребности в изготовлении и использовании специальных технических средств для проведения счета [16-17]. Однако по мере развития общества наука и техника не смогли существовать без измерений.
Каждую секунду в мире производятся миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечения безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важнейших целей. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля. Для их получения задействованы многие миллионы человек и большие финансовые средства. Примерно 15% общественного труда затрачивается на проведение измерений. По оценкам экспертов от 3 до 6% валового национального продукта передовых индустриальных стран тратится на измерения и связанные с ними операции.
Сотрудничество с зарубежными странами, совместная разработка научно-технических программ требуют взаимного доверия к измерительной информации. Её высокое качество, точность и достоверность, единообразие принципов и способов оценки точности результатов измерений имеют первостепенное значение.
Вэтой главе нам и предстоит выяснить, что же такое погрешность вычисления, и каковы способы ее оценки.
1.1.Причины возникновения и классификация
погрешностей
Погрешность измерения оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.
Решения задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:
математическая модель описывает изучаемый объект приближенно
сучетом основных, наиболее существенных факторов (погрешность математической модели);
8
параметры, входящие в описание задачи, заданы неточно. Соответствующую погрешность называют неустранимой;
численный алгоритм, применяемый для решения математической задачи, дает приближенное решение (погрешность метода);
использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из–за:
ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами);
методы, причисляемые к точным, не учитывают наличие вычислительной погрешности;
погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе.
Функции часто задаются в виде бесконечных последовательностей. Более того, многие математические уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями. Так как бесконечный процесс не может быть завершен в конечное число шагов, то мы вынуждены остановится на некотором члене последовательности. Такой обрыв процесса и вызывает погрешность.
Погрешности подразделяются на несколько видов по причинам, вызывающих их. На рис. 1.1 и рис. 1.2 показана классификация погрешностей.
Неустранимая погрешность |
|
погрешности |
погрешности |
исходных |
математической |
данных |
модели |
Рис. 1.1. Классификация погрешностей (неустранимая погрешность)
|
Полная погрешность |
|
неустранимая |
погрешность |
Вычислительная |
погрешность |
метода |
погрешность |
Рис. 1.2. Классификация погрешностей (полная погрешность)
Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью. Для технических задач хорошая точность – 10%.
9
Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Приступим к их рассмотрению.
1.2. Абсолютная и относительная погрешности
Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а<A , то а называется приближенным значением числа A по недостатку; если же а>A, то по избытку.
Под ошибкой или погрешностью a приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом A и данным приближенным, т. е. A=A a.
Если a<A, то ошибка положительна: a>0, если a>A, то ошибка отрицательна: a<0. Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа а: =| a| = |A a|.
Однако, если число A нам неизвестно (что на практике бывает чаще всего), полезно вместо абсолютной погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность. Под
предельной абсолютной погрешностью |
a |
приближенного числа а |
понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа:
A a
|
a |
|
.
Следовательно, |
точное |
число |
A |
|
заключено |
в |
границах |
|||
a a |
A a a , где |
a a есть приближение числа A |
по недостатку, а |
|||||||
a a |
приближение числа A |
по избытку. Или |
A a a . |
|
|
|
||||
Относительной погрешностью приближенного числа а называется |
||||||||||
отношение абсолютной погрешности |
|
этого числа |
к |
абсолютному |
||||||
значению точной величины А (А 0): δ |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
| A | |
|
|
|
|
|
|
Предельной |
относительной |
погрешностью |
|
δ a |
данного |
|||||
приближенного числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем δ δa ,
т.е. |
|
δa , отсюда A δa . |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а |
||||||
можно принять a A δa или, так как на практике А а, a |
|
|
a |
|
δa . |
||
|
|
||||||
10