![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Вычислим определитель основной матрицы системы:
Обозначим через Δi определитель, получающийся из определителя Δ основной матрицы системы уравнений заменой его i-го столбца столбцом из свободных членов b1,b2,...,bn (с сохранением без изменения всех остальных столбцов).
Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое следующей формулой:
Эта формула называется формулой Крамера, а алгоритм решения системы линейных уравнений - методом Крамера или правилом Крамера.
Метод главных элементов
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений.
(1)
Рассмотрим расширенную прямоугольную матрицу, состоящую из коэффициентов системы a[i,j] и свободных членов b[i].
Выбираем
ненулевой наибольший по модулю элемент,
не принадлежащий столбцу свободных
членов. Пусть это будет
.
Этот элемент называется главным
элементом, а строка, в которой он
находится, называется главной строкой.
Вычисляются множители:
для
всех
.Далее
производим следующие преобразования:
к каждой неглавной строке прибавим
главную строку, умноженную на
соответствующий множитель для этой
строки. В результате мы получим матрицу,
у которой q-й столбец состоит из нулей.
Отбросим этот столбец и главную p-ю
строку, получим новую матрицу с меньшим
на единицу числом строк и столбцов. Над
матрицей повторяем те же операции, после
чего получаем матрицу и т.д. Таким
образом, мы построим последовательность
матриц,
последняя
из которых представляет двучленную
матрицу - строку, её также будем считать
главной строкой. Для определения
неизвестных объединяем в систему все
главные строки, начиная с последней.
После надлежащего изменения нумерации
неизвестных получается система с
треугольной матрицей, из которой легко
шаг за шагом найти неизвестные данной
системы. Заметим, что метод Гаусса
является частным случаем
метода главных элементов, а схема метода
Гаусса получается, если за главный
элемент всегда выбирать левый верхний
элемент соответствующей матрицы.
Запрограммировать метод главных
элементов непросто, поэтому чтобы
уменьшить вычислительную погрешность,
применяют метод Гаусса с выбором главного
элемента. Необходимое условие применения
метода главных элементов: определитель
системы не равен нулю.
Метод квадратных корней
Пусть дана линейная система:
Ax=b
где
- симметрическая матрица. Тогда матрицуА
можно
представить в виде произведения двух
транспонированных между собой треугольных
матриц
где
и
Производя
перемножение матриц
, для определения элементов матрицыТ
получим
следующие уравнения:
Отсюда последовательно находим:
(3)
При наличии соотношения (2) уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям:
Отсюда последовательно находим:
Изложенный способ решения линейной системы носит название метода квадратных корней.
Схема Халецкого
Для удобства рассуждений систему линейных уравнений запишем в матричном виде:
Ax=b, (1)
где
- квадратная матрица порядкаn
и
векторы-столбцы. Представим матрицу А в виде:
А=ВС, (2)
,
Тогда элементы определяются по формулам:
Ву=b, Cx=y
Отсюда
Этот метод получил название схемы Халецкого.