![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Метод Гаусса
Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений
первый
элемент
.
Назовем его ведущим элементом первой
строки. Поделим все элементы этой строки
на
и
исключим x1из всех последующих
строк, начиная со второй, путем вычитания
первой (преобразованной), умноженной
на коэффициент приx1в соответствующей строке. Получим
Если
то, продолжая аналогичное исключение,
приходим к системе уравнений с верхней
треугольной матрицей
Из нее в обратном порядке находим все значения xi:
Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных –обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:
,
j = i+1,i+ 2, …, m;
т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a11был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.
Метод простой итерации
При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами. Изложим здесь один из этих методов — метод итерации.
Пусть дана линейная система
Введя в рассмотрение матрицы
систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения
Ах = b. (1')
Предполагая, что диагональные коэффициенты
aij ≠ 0 (i=1, 2,…., n),
разрешим первое уравнение системы (1) относительно x1 , второе — относительно х2 и т.д. Тогда получим эквивалентную систему
где
при
и
приi=j
(i,j=1,2,….,n).
Введя матрицы
и
.
систему (2) можем записать в матричной форме
x = β + ax |
(2') |
Систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов
х(0) = β
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
(первое приближение),
(второе приближение) и т.д
Вообще говоря, любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле
x(k+1) = β + ax(k) |
(k= 0, 1, 2, ...) |
(3) |
Если
последовательность приближений x(0)
, x(1)
,….,x(k)
,…. имеет предел,
то этот предел является решением системы (2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (3), будем иметь:
или
т. е. предельный вектор х является решением системы (2'), а, следовательно, и системы (1).
Напишем формулы приближений в развернутом виде:
Заметим, что иногда выгоднее приводить систему (1) к виду (2) так, чтобы коэффициенты аij не были равны нулю. Например, уравнение
для применения метода последовательных приближений естественно записать в виде
x1 = 2,7 — 0,02x1 + 0,15x2.
Вообще, имея систему
(k
= 1, 2, ... , n),
можно положить:
где
. Тогда данная система эквивалентна
приведенной системе
(i=1,2,…,n).
где
при
Поэтому
при дальнейших рассуждениях мы не будем,
вообще говоря, предполагать, что
.
Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3) или (3'), носит название метода итерации. Процесс итерации (3) хорошо сходится, т. е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы а малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).