§ 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений Обратные матрицы
Система линейных алгебраических уравнений
называется
крамеровской,
если определитель 
матрицы 
этой системы отличен от нуля. Такая
система имеет единственное решение, и
оно находится по формулам
Крамера
где
определитель 
получается из определителя 
заменой 
-
го столбца столбцом свободных членов
системы.
Для
квадратной матрицы 
порядка 
обратной
называют матрицу 
этого же порядка, удовлетворяющую
условию
где
-
единичная матрица.
Для
того, чтобы матрица 
имела обратную матрицу 
,
необходимо и достаточно, чтобы матрица
была невырожденной,
т.е. чтобы определитель матрицы 
был отличен от нуля. При этом матрица 
также невырожденная и
где
-
алгебраическое дополнение элемента 
матрицы 
;
Укажем
некоторые свойства обратных матриц.
Пусть 
и 
-
невырожденные матрицы порядка 
над полем 
.
Тогда справедливы следующие равенства:
Наличие
обратной матрицы 
к матрице 
крамеровской системы 
позволяет решение этой системы записать
в матричной форме в виде
Пример 1. Решить по формулам Крамера систему
Решение. Здесь определители
Поэтому
Пример 2. Для матрицы
найти
матрицу 
по формуле 
Решение. Сначала находим
Поэтому
Пример
3.
Решите систему уравнений 
методом обратных матриц.
Решение.
По формуле 
имеем:
2.4.1. Решите следующие системы уравнений по формулам Крамера:
2.4.2. Найдите обратные матрицы для матриц
2.4.3.
Решите матричные уравнения, т.е. найдите
матрицы 
,
для которых справедливы данные равенства:
2.4.4.
Методом обратных матриц решите системы
из задачи 
2.4.5.
Матрица 
называется симметричной,
если 
Докажите, что:
матрица,
обратная невырожденной симметричной,
будет симметричной;
для
любой матрицы 
матрица 
является симметричной;
произведение
двух симметрических матриц 
и 
тогда и только тогда будет симметричной
матрицей, когда 
2.4.6.
Матрица 
называется ортогональной,
если 
т.е. 
Докажите, что для ортогональности
матрицы необходимо и достаточно любое
их условий:
называется
символом
Кронекера.
2.4.7. Докажите, что:
произведение
двух ортогональных матриц будет
ортогональной матрицей;
матрица,
обратная ортогональной, ортогональна.
2.4.8.
Найдите обратную матрицу для матрицы
,
если:
2.4.9.
Вычислите 
и 
если
