§ 2.3. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа

Выделим в квадратной матрице порядка строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка . Ее определитель назовем минором - го порядка и обозначим

где - номера выделенных строк (столбцов). В частности, минорами - го порядка являются элементы матрицы .

Если вычеркнуть из матрицы строки с номерами и столбцы с номерами , то останется минор порядка , называемый дополнительным минором для минора . Дополнительный минор обозначается

Алгебраическим дополнением минора называется его дополнительный минор, взятый со знаком , где Алгебраическое дополнение элемента обозначается .

Теорема Лапласа. Пусть в матрице порядка произвольно выбраны строк (или столбцов), Тогда определитель матрицы равен сумме произведений всех миноров порядка , содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения. Запишем формально теорему Лапласа для фиксированных номеров строк:

В случае фиксированных номеров столбцов суммирование в соотношении производится по с учетом того, что .

Используя теорему Лапласа, можно доказать, что определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка над полем равен произведению определителей этих матриц:

.

Частным случаем теоремы Лапласа являются следующие формулы разложения определителя по строке

и по столбцу

Соотношения и позволяют свести вычисление определителей - го порядка к вычислению определителей - го порядка.

Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определитель

Решение. Теорема Лапласа позволяет свести вычисление исходного определителя к вычислению определителей меньших порядков. Ею удобно пользоваться тогда, когда в определителе имеются равные нулю миноры. В этом случае при вычислении определителя необходимо выделять те строк или столбцов, которые содержат наибольшее число миноров - го порядка, равных нулю. Исходя из этого, разложим определитель по теореме Лапласа, используя вторую и четвертую строки. Получим:

Пример 2. Вычислите определитель

Решение. Учитывая, что в пятом столбце определителя имеется только один ненулевой элемент, разложим определитель по элементам пятого столбца. Получим:

Разложив последний определитель по элементам третьей строки, будем иметь:

2.3.1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители:

2.3.2. Докажите, что если все элементы одной строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.

2.3.3. Вычислите определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

2.3.4. Найдите:

число всех миноров порядка квадратной матрицы порядка , содержащихся в фиксированных строках;

число всех миноров порядка этой матрицы.

2.3.5. Докажите, что разложение Лапласа определителя порядка по любым строкам (столбцам) совпадает с его разложением по остальным строкам (столбцам).

2.3.6. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители, предварительно преобразуя их: