- •2. Цифровые устройства
- •2.2 Введение в математические основы цифровой схемотехники
- •2.2.1 Системы исчисления
- •2.2.2 Элементы двоичной арифметики
- •2. Дополнительный код отрицательного числа создается путем единичного значения знакового разряда, инвертирования всех остальных цифровых разрядов и добавления “1” к младшему разряду.
- •2.2.3 Контрольные вопросы к разделу 2.2.3
2.2 Введение в математические основы цифровой схемотехники
2.2.1 Системы исчисления
Под системой исчисления понимают совокупность приемов и правил, с помощью которых устанавливается однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов. В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр различают позиционные и непозиционные системы исчисления.
В непозиционных системах независимо от положения изображающей цифры она всегда соответствует некоторому фиксированному числу (например, римская система исчисления). В позиционной же системе, используемой в цифровых устройствах, значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.
Любое число в позиционной системе исчисления можно представить в виде полинома:
А(р)= mn pn + mn-1 pn-1 +…+ m0 p0 + m-1 p-1 +…
Где А- число в позиционной системе исчисления с основанием р; mi- коэффициент, принимающий значения от 0 до (p-1); n- степень, в которую возводится основание системы исчисления. Величина (n+1) определяет разрядность числа в той или иной системе исчисления.
Позиционные системы исчисления имеют разные основания: десятичные с основанием десять, восьмеричные с основанием восемь, двоичные с основанием два и т.д.
В двоичной системе исчисления используются только два цифровых символа 0 и 1, а само двоичное число записывается в виде:
А2= mn 2n + mn-1 2n-1 +…+ m0 20 + m-1 2-1 +…
и представляет, таким образом, (n+1)- разрядное число. Каждый двоичный разряд называется битом, а восемь двоичных разрядов создают один байт.
Поскольку и цифровые устройства используют элементы с двумя устойчивыми состояниями, то делается понятной значимость двоичной системы в процессах передачи и обработки цифровой информации.
При подготовке числовой и программной документации оказываются весьма полезными восьмеричная и шестнадцатеричная системы исчисления. Они более компактны с точки зрения записи информации и удобны при переводе в двоичную систему (особенно восьмеричная система).
Для перевода десятичного числа в любую позиционную систему пользуются методом последовательного деления на основание новой системы до тех пор, пока остаток от деления не сделается меньше основы. Число в новой системе окажется составленным из остатков от деления, начиная с последнего слева направо. Проиллюстрируем этот прием на примере десятичного числа 12510, представив его в восьмеричной системе исчисления (нижний индекс указывает основание системы исчисления). Отметим, что в шестнадцатеричной системе для обозначения цифр 10, 11,..15 дополнительно используются буквенные символы: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15
а) Перевод десятичного числа
в восьмеричное
Таблица 1
-
Число
Результат деления на основание 8
Остаток
125
15
5
15
1
7
1
<8
1
12510=1758
То же десятичное число, но записанное в двоичной и шестнадцатеричной системах имеет вид: 12510=11111012=126+125+124+123+122+021+120;
12510=7D=716+13. Преимущество в “длине” записи явно на стороне восьмеричной и шестнадцатеричной систем исчисления.
Широко используется в устройствах ввода и вывода цифровой информации двоично-десятичное представление чисел, при котором любой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда, например: 12510=0001 0010 0101.