2.3 Основы алгебры логики

2.3.1 Основные понятия и определения

Теоретической базой проектирования цифровых устройств является алгебра логики или алгебра Буля, основы которой были заложены английским логиком Д. Булем (отец известной писательницы Этель Войнич, автора романа “Овод”) в середине девятнадцатого столетия. Им впервые был разработан метод проверки истинности тех или иных утверждений, опирающийся на законы логического мышления и оперирующий двумя фундаментальными понятиями “истинно” и “ложно”. Исследование свойств и сочетаний этих понятий показали их большие возможности не только для решения логических задач, но и для проведения математических операций, свойственных двоичной арифметике.

Основным понятием алгебры Буля является функция Буля, представляющая собой функцию от n аргументов вида f=f(x₁,x₂, x_n), в которой как сама функция, так и ее аргументы могут принимать только два значения: нуль или единица.

Совокупность всех возможных сочетаний аргументов образуют так называемый набор, исчисляемый значением С=2ⁿ. Так как каждому сочетанию аргументов соответствуют два значения функции, то общее число функций при n аргументах определяется величиной .

Самыми простыми являются функции Будя одного аргумента, приведенные в таблице 2.4

Таблица 2.4

Функция	Аргумент		Обозначение	Название функции
	0	1
F0	0	0	0	Постоянная 0
F1	0	1	X	ПостояннаяX
F2	1	0		Инверсия X
F3	1	1	1	Постоянная 1

С ростом числа аргументов количество Булевых функций существенно возрастает. Так, уже при n=2 общее число функций Буля станет равным 16, при n=3- 256 и т. д.

В таблице 2.5 приведены все возможные функции Буля для двух аргументов (А,В) , представленные в широко используемой совершенной дизъюнктивной форме, с которой мы будем встречаться еще не раз в дальнейшем изложении.

Из перечня функций таблицы 2.5 отметим следующие и поясним их логический смысл:

1. Функция F₁=AB, называемая конъюнкцией или функцией логического умножения, на языке логики означает, что F₁ истинна только в случае истинности событий (или высказываний) как А, так и В. Если истина- это единица,

Функция	A 0011 В 0101	Условное обозначение	Название функции
F0	0000	F0=0	Постоянная нуль
F1	0001	F1=AB	Конъюнкция (И)
F2	0010	F2=	Запрет
F3	0011	F3=A	Тождественность А
F4	0100	F4=	Запрет
F5	0101	F5=B	Тождественность
F6	0110	F6=+	Исключительное ИЛИ
F7	0111	F7=A+B	Дизъюнкция (ИЛИ)
F8	1000	F8=	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
F9	1001	F9=AB+	Равнозначность
F10	1010	F10=	Инверсия В
F11	1011	F11=A+	Импликация от В к А
F12	1100	F12=	Инверсия А
F13	1101	F13=+B	Импликация от А к В
F14	1110	F14=	Штрих Шеффера (И-НЕ)
F15	1111	F15=1	Постоянная 1

Таблица 2.5

а ложь- нуль, то можно определить конъюнкцию как функцию принимающую единичное значение при условии единичных значений ее аргументов. Символом конъюнкции условимся считать ближайшее, без пропусков и дополнительных знаков, расположение ее аргументов.

2. Функция F₇=A+B, называемая дизъюнкцией (ИЛИ, логическое сложение), утверждающая, что достаточно одного истинного высказывания из двух, чтобы считать функцию истинной, то есть равной единице. Символ дизъюнкции- знак +.

3. Функция F₈=, утверждающая об ее истинности только в случае ложности ее аргументов.

4. Функция F₁₂=, инверсия, утверждающая, что истина всегда противоположна неистинности. Символ инверсии- черта над аргументом функции или над самой функцией.

5. Функция F₁₄= (И- НЕ), принимающая истинное значение при ложности хотя бы одного аргумента.

Чем замечательны выделенные выше функции Буля? Прежде всего своей универсальностью. Так, совокупность функций И, ИЛИ, НЕ образуют элементарный полный логический базис Буля, с помощью которого можно организовать любую сложную логическую функцию. Такими же свойствами обладают каждая из функций ИЛИ- НЕ, И- НЕ, позволяющие реализовать и функцию И, и функцию ИЛИ, и функцию НЕ, и любую другую.

Обратим также внимание на то, что аргументы А, В.. булевой функции могут иметь смысл любой более сложной функции. Отсюда, в частности, следует, что функции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ относятся к функциям с любым числом аргументов.