3871

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 1

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания к практическим занятиям для студентов I курса, обучающихся по направлению 230100 «Информатика и Вычислительная техника»

НОВОСИБИРСК

2010

1

ВВЕДЕНИЕ

Внастоящей работе рассматривается тема «Неопределенные интегралы», которая изучается во втором семестре в рамках курса «Математический анализ» по направлению 552800 «Информатика и вычислительная техника». Тема разбита на разделы, усвоив которые, студент сможет без труда решать большинство типовых задач, поставленных в рамках курса. Первая тема посвящена простейшим интегралам. Для решения этих задач студентам необходимо знать таблицу простейших интегралов. Кроме того, в рамках этой темы они смогут повторить материал средней школы, посвященный элементарным функциям.

Перед автором стояло две задачи. Первая – дать студентам доступное введение в математический анализ, не отягощенное ни громоздким аппаратом, ни логическими тонкостями, и дать справочный материал,

скоторым студенты могли бы освоить практический курс. Вторая задача – дать набор типовых решений примеров, с которыми они могли бы решать более сложные задачи. Методические указания разбиты на разделы. По большинству же тем даются основные формулы, необходимые для решения задач. За основу практического курса взят классический сборник задач по математическому анализу Б.П. Демидовича, имеющий многократные переиздания.

Для успешного изучения курса «Математический анализ» студенту необходимо знать курс математики в объеме средней школы. Исходя из опыта работы с контингентом студентов с ограниченными возможностями по слуху соотношение лекционных занятий к практическим взято как 30 к 70 %, так в некоторых случаях и 20 к 80 %.

Вкаждом разделе приводится несколько подробно решенных задач. Курс имеет ярко выраженную практическую направленность и предполагает активное освоение методов взятия неопределенных интегралов. Основной целью данной работы является разбор техники вычисления неопределенных интегралов и тренировка умения студентов работать со сложными объектами и техническими приемами. Студенты применяют освоенные теоретические методы и алгоритмы для решения задач. В настоящих методических указаниях приводится справочный материал и примеры решения задач по шести предлагаемым темам.

3

Т Е М А 1. ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ

Цель занятия – на простейших примерах ознакомиться с техникой взятия простейших интегралов и использования таблицы простейших интегралов.

1. Понятие неопределенного интеграла. Если функция (х) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F (x) ее первообразная, т. е.

F (x) = f(x) при a < x < b, то

f (x)dx F(x) C, a x b.

Определение. Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающее множество всех

первообразных от данной функции f x , называется неопределенным интегралом от f x и обозначается так: f x dx.

Функция f x называется подынтегральной функцией, выражение f x dx – подынтегральным выражением, а переменная x – перемен-

ной интегрирования. Как и раньше, здесь предполагается, что подынтегральная функция f x при рассматриваемых значениях x непре-

рывна.

Любая первообразная отличается от данной первообразной на постоянную, таким образом:

f x dx F x C,

где F x – какая-нибудь из первообразных от f x , а C – произ-

вольная постоянная.

Найти неопределенный интеграл от функции – это значит найти все первообразные от нее (для чего достаточно указать одну из них). Потому и говорят «неопределенное интегрирование», что при этом не указывается, какая именно из первообразных имеется в виду.

4

3. Таблица простейших интегралов:

4. Основные методы интегрирования.

1. Метод введения нового аргумента. Если

f (x)dx F(x) C,

то

f (u)du F(u) C,

где u = (x) непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

f (x) f1 (x) f2 (x),

то

f (x)dx f1 (x)dx f2 (x)dx.

3.Метод подстановки. Если (х) непрерывна, то, полагая

х= (t),

где (t) – непрерывна вместе со своей производной (t), получим

4. Метод интегрирования по частям. Если u и некоторые диф-

ференцируемые функции от х, то

ud u du.

Теорема 1 (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

Равенства, в обеих частях которых стоят неопределенные интегралы, означают, что левая и правая их части являются совокупностями первообразных от одной и той же функции. Следовательно, для проверки таких равенств достаточно убедиться, что производные обеих их частей равны между собой.

7