Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3871

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

x3 cos x 6x sin x

x d(cos x )

2 x3 cos x

6x sin

x cos

12sin

x C

x (6

x) cos

6 (x

2) sin

C (x

0).

Иногда для получения результата нужно последовательно несколько раз применить интегрирование по частям.

6. Найти интеграл x2 cos x dx. Положим

cos x dx	d ,	sin x,
x2	u,	du 2x dx.

Формула интегрирования по частям дает

x2 cos x dx x2 sin x 2 xsin x dx.

Последний интеграл снова берется по частям. Окончательно получаем

x2 cos x dx x2 sin x 2x cos x 2sin x C.

Многократным интегрированием по частям можно найти интегралы

xm sin x dx,

xm cos x dx,

xmex dx

( m – целое положительное число) и, значит, интегралы

P(x)sin x dx,

P(x)cos x dx,

P(x)ex dx,

где P(x) – любой многочлен.

Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее тождество (интегрирование было произведено нерационально), или же такое равенство, что из него удается найти выражение для искомого интеграла. Рассмотрим пример.

7. Найти интеграл ex cos x dx.

Положим
ex dx			ex ,
ex dx	d ,		ex ,
cos x	u,	du	sin x dx.
Отсюда
ex cos x dx	ex cos x		e x sin x dx.

Снова применим интегрирование по частям, положив1:

ex dx	d	,		ex
sin x	u,		du	cos x dx.
Тогда получим
ex sin x dx	ex sin x			ex cos x dx,

и мы пришли к исходному интегралу. Подставив найденное выражение в результат первой операции, получим

ex cos x dx			ex (cos x				sin x)	C ,
и, значит,
e	x	cos x dx	`1	e	x	(cos x	sin x)	C.
e		cos x dx	2	e		(cos x	sin x)	C.
			2

Никаких общих рецептов, когда и как следует применять метод интегрирования по частям, дать невозможно.

ТЕ М А 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

ИГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ

Цель занятия – на примерах ознакомиться с техникой тригонометрических и гиперболических подстановок при взятии неопределенных интегралов.

1 Если	здесь принять sin xdx за du , то придем к тождеству
ex cos x dx	ex cos x dx.

Под тригонометрическими подстановками понимаем подстановки вида x = asint, x = atgt, x = a sin 2 t и т. п. Под гиперболическими подстанов-

ками понимаем подстановки вида x = asht, x = ac t, x = ash2t

и т. п.

Примеры и решения

1. Найти интеграл

Если положить x

sin t, то dx

cos tdt

и при

< 1

tgt

tg(arcsin x)

C .

cos

2 2

2. Найти интеграл

dx.

Полагая x

sin t,

получаем

cos2 tdt =

2 dx a2

cos 2t)dt =

sin 2t

arcsin

a .

3. Найти интеграл

a)(x b)

Положив x

a)sin2 t,

после простых преобразований по-

лучаем

2 dt

C arcsin

x b .

a)(x b)

ТЕ М А 5. НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

СРАДИКАЛАМИ ВИДА ax2 bx c

Цель занятия – на примерах ознакомиться с техникой взятия неопределенных интегралов с радикалами.

Выделением полного квадрата в подкоренном выражении интеграл сводится к одному из известных интегралов

x2 dx,

1 dx.

Помогает взятию подобных интегралов следующая

Теорема. Доказать, что если y = ax2

0 , то

C при a

arcsin

C при a

0 .

4ac

Доказательство. При a

0 имеем

adx

a2 x2 bax

4ac b2

a2 x2 bax

+ С.

Пусть a

0 и b2

4ac

0 , тогда

4ac

ax2

c =

Следовательно,

arcsin

C .

a b2

4ac

Примеры и решения

1. Найти интеграл

xdx

Очевидно,

xdx

5 x x2

1 2

Откуда по теореме имеем

xdx

arcsin

C ,

1 21

5 x

2. Найти интеграл

dx .

x x4 1

При х

0 имеем

sgn x

x2 1

x4 1

sgn xln

3. Найти интеграл

dx.

1 2x x2

Применяя предложенную формулу, имеем

x3dx

Ax2

1 2x x2

1 2

Дифференцируя это тождество и приводя к общему знаменателю,

получаем x3 2Ax B 1 2x

Ax2

Bx C 1

, откуда

3A,

5A 2B ,

2 A

C ,

				A		1	, B			5	, C		19		,	4.

						3		6					3

Таким образом, окончательно при												x	1				2 имеем
		x3dx			2х2	5х		19								4 arcsin		х	1
									1 2х					х3						С.
						6
	1 2x		x2													2

Т Е М А 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

Цель занятия – на примерах ознакомиться с методами взятия неопределенных интегралов от некоторых типов иррациональных функций.

	Примеры и решения
	x3
1. Найти интеграл	x3	2	x	dх .

	x	3 2	x
	x	3 2	x
Полагая х + 2 = t3 , имеем

2t3

x3 2 x

dх 3

x 3

t 1 t2

t 2

2 x

3t2

dt .

t 2

К последнему интегралу применим метод неопределенных коэффициентов:

									3t2				6t												A									Bt			C		,
							t		1 t2						t			2 t 1 t2																		t	2		,
							t		1 t2						t			2 t 1 t2																		t	2
					3t2				6t A t2										t 2								Bt C t 1 ,
													t 2						A				B ,
													t 2		3				A				B ,
													t				6			A					B					C,
													t				6			A					B					C,
													t0						2 A						C,
													t0		0				2 A						C,
										A				3		, B				15				, C								3			,
										A				4		, B					4			, C										2	,
														4							4													2
																																					t	2
				3t2			6t													3						dt						15
				3t2			6t							dt						3						dt						15						5				dt
																																						5
	t 1 t2							t	2											4 t 1 4 t2																			t 2
		3								15							t2											27												2t	1		C .
		3	ln			t	1			15			ln						t					2				27							arctg					2t	1
4			ln			t	1		8				ln						t					2											arctg
4									8																		4					7						7
Окончательно имеем

				x3 2 x							dх					3		t4				3		t2					3		ln					t	1	15			=
				x3 2 x												3						3							3									15

				x	3 2				x					4						2							4											8
				x	3 2				x					4						2							4											8
																			27														2t			1		C .
					= ln				t2			t		2					27					arctg									2t			1

																			4	7															7
																			4	7															7

2. Найти интеграл																				dx													.


															x		1										x				1
															x		1										x				1
Уничтожая иррациональность в знаменателе, получим
												dx												1
												dx												1								1 x									x		1 dx

																								2
					x						1				x		1
					x						1				x		1
			1										1															1											1
													1																										1
								x 1 2 d x 1																											x 1 2 d x 1
			2					x 1 2 d x 1																				2							x 1 2 d x 1
			2																									2
									1											3
																													x 1 3									С(x 1) .
													x 1
				3									x 1
				3
3. Найти интеграл															dx							.


													1				ex
													1				ex
						x
Полагая t			1	e2 , получаем
	dx					dt
	dx		2			dt										2ln					t							t2					1			C x 2ln 1															ex 1 C .


1		ex			t2						1

																		x2						1
4. Найти интеграл																		x2						1										dx .


														x2			1								x4						1
														x2			1								x4						1
Преобразуем подынтегральное выражение
													1				1								sgn x																		sgn 1					1
		x2
		x2	1																x2																														x
							dx																													dx

	x2	1 x4		1									1				1						x			2					1											1						1 2
	x2	1 x4		1													1									2					1											1						1 2
																	x														x2						1									1						2
																	x														x2						1						x			1						2
																																											x							x
																						1																						1			1
										sgn xd							1					1																		d		1		1

																						x																						x					.
																						x																						x

			1	1								1	1				1											2									1							2
				1									1															2																2

							x							x										1				1 2														1		1				2

																														x															x
																														x															x

Т Е М А 7. ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА

Цель занятия – на примерах ознакомиться с приложением формул Эйлера к взятию неопределенных интегралов.

Следующие подстановки называются подстановками Эйлера:

	ax2
1)		bx	c		ax z , + z, если a > 0;

	ax2
2)		bx	c	xz	c , если c > 0;
3)
	a x x1		x x2		z x x1 .

Пример. Используя подходящую подстановку Эйлера, найти интеграл

dx.

Здесь x2 +3x+2

x 2 ,

поэтому можно положить

3x 2

t x

(третья подстановка Эйлера).

Имеем

t 2

2tdt

3x 2

2t2

dt .

t 2 t 1 t 1 3

3x 2

Разложение подынтегральной функции ищем в виде

2t2

2 t

1 t

1 3

1 2

1 t

откуда

2t2

4t A t 2 t 1 B t 2 t2

1 C t2

3t 2 t2

2t 1

D t 2 t3

3t3

3t 1 E t 1 t3

3t3

3t 1 .

Полагая				последовательно t									1,1;	2,				находим						A		1	,	D		3	и
Полагая				последовательно t									1,1;	2,				находим						A			,	D			и
																										3				4
E	16	. Далее , приравнивая в тождестве коэффициенты при t4																												и t3 ,
E	27	. Далее , приравнивая в тождестве коэффициенты при t4																												и t3 ,
	27
получаем систему 0 C						D		E; 0					B	C				D		2E ,			откуда						находим
остальные неизвестные:
						C			17		,		B		5			.
						C	108				,		B	18				.
							108							18
Таким образом,
I				1	5		17			ln		t	1	3			ln		t	1	16			ln	t	2			C.
				1	5		17							3							16

			6 t	1 2	18 t	1		108								4						27
			6 t	1 2	18 t	1		108								4						27

Список литературы

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.

2.Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. –

М.: Наука, 1990.

3.Справочное пособие по математическому анализу. Ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай и др. – Киев. Вища школа, 1978.

4.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: В 2 т. – М.: Высш. шк.,

1973.

5.Рудин. У. Основы математического анализа. – М.: Мир, 1976.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.20161.04 Mб313823.pdf
#
11.03.2016329.32 Кб83840.pdf
#
05.11.2018668.16 Кб42384_Шевницына.doc
#
27.03.2015308.01 Кб173854,2010,экономика.pdf
#
27.03.2015670 Кб163868 (1).pdf
#
27.03.20151.24 Mб83871.pdf
#
11.03.20162.59 Mб653880.pdf
#
27.03.2015472.87 Кб103899.pdf
#
27.03.201522.75 Mб53390.doc
#
15.09.201910.92 Mб1390983.rtf
#
27.03.20151.67 Mб62399_Афонасова.doc