Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

TPf(x,y)

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
1.73 Mб
Скачать
☆

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

1 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1)

z

 

x

 

y

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

z

u

 

v ɝɞɟ

 

 

 

 

 

 

u

x2 y ;

v

 

xy

ɪ

 

x = e,

y = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

xz5

 

y3 z x3

0;

 

 

 

 

M0(1;0;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

u

ln(3

x2 )

8xyz ;

 

M0(1;1;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S: x2

 

 

2y2

 

2z2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

v

 

x2

6y3

 

3

6z3 ;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

yz2

;

M

 

( 2;

1

;

1

).

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

x2

 

y2

 

z2

4x 6y

8z

1

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(1;2;2). 7ɚ)

x + y +1=0. 7ɛ)

z x2 2xy y2 4x 1; D:{ x + y +1 0; y 0; x -3}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

2 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z ln x2 y2 1

94

2)z tgu 1 ; ɝɞɟ v

 

u

xy ; v

x2 y

 

 

 

ɪ

 

 

 

 

x = S , y = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x yz ez 2 0 ;

 

 

 

 

M0(1;2;0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

u

x y y z;

 

 

 

 

 

M0(2;4;4);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S:4z 2x2 y2

8;.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

v

4 6

 

6

 

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

9y

2

 

 

 

 

 

 

u x2 yz3 ; M 2;

1

;

3

.

 

3

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

x2 y2 x 2y

 

 

 

 

4z 13

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(2;1;2). 7ɚ)

x + y -1=0. 7ɛ)

z4x2 9y2 4x

6y 3;

D:{ x 0; y 0; x+y 1}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

3 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z arccos

x2

y2

 

9

 

 

2)

z

arctgu

1

 

; ɝɞɟ

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

x2

y2 ;

v

 

 

 

xy

 

ɪ

 

x = 1, y = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x2

y2

 

z2

 

 

 

3xyz ;

 

M0(1;1;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) u

2ln(5

x2 )

4xyz;

 

M0(1;1;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S: x2

2y2

2z2

1..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) v

9 2x3

 

y3

4z3

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

2

 

2

3

 

u

z3

;

M0

1

;2;

 

3

.

 

 

 

 

xy2

3

2

 

 

 

 

6) x2+2y2-3z2+xy+yz-

 

 

 

-2xz+16=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(1;2;3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y-1=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɛ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

5x2

 

3xy

 

 

 

 

 

 

 

y2 4;

D:{ x -1; y -1; x+y 1}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

4 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z

x

y .

 

y x

y x

2)

z

 

 

 

1

 

 

sin(x2 y2 ); ɪ x =

, y =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

z2

 

3xyz

4

0 ;

 

 

 

 

 

M0(1;1;-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) u

 

1

x2 y

 

x2

5z2 ;

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (-2;

 

1

;1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S: z2

x2

4y2

4..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) v

3

4

1

;

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

6z

 

 

 

u

 

 

 

z

; M0 1;2;

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 y2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) z

y

 

ln

x

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(1;1;1).

 

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2+ y - 4=0.

 

 

 

 

 

7ɛ) z

10

 

 

2xy

x2 ;

 

 

D:{ y 4- x2 ; y 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

5 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z 1 x2 1 y2 .

2)

 

 

z

yln(x2

y2 );

ɪ

 

x = 2, y = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

x

 

ln

z

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

z

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(1;1;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

u

xz2

x3 y;

 

 

 

 

 

M0(2;2;4);

 

 

 

 

 

 

 

S: x2

 

y2

3z 12 0..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

v

x3

 

3

6z3 ;

 

2

 

 

 

6y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

; M0 2;

1

;

1

 

yz2

2

3

6)

 

x2

 

 

y2

 

 

z2

0

 

 

 

 

16

 

9

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(4;3;4).

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y +2=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɛ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4x 2y 4x2

y2 6;

D:{x 0 ; y 0; x+y+2 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

 

 

 

 

 

6 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1)

z 1 1 (x y)2

 

 

 

 

 

 

2)

z cos

1

 

1

; ɪ

 

 

yxy

S2 x = 2 , y = S .

3(x2 y2 z2 ) 2(xy

3)

yz xz)

35

 

M0(3;4;2)

 

4)

u x y yz2 ;

 

M0(2;1;-1);

 

 

S: x2 y2

4z 9..

5)v 3 2x2 y2

3 2z2 ;

 

 

 

2

 

 

.

u

z2

 

1

;2;

2

 

; M0

xy2

3

3

 

 

 

 

6) x2 y2 2x z3

16

 

 

M0(2;1;2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

x – y +1=0. 7ɛ)

z y2 2xy x2 4y; D:{x 3; y 0; y x+1}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

7 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z ln(x2 y)

2)

z ex2 y

 

 

x2 y2 ; ɪ

 

x = 1, y = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2x2

2y2

z2

8xz

 

 

 

 

 

 

 

z

8

0

 

 

 

M0(2;0;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

u

7ln(

1

 

x2 )

4xyz

13

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(1;1;1);

 

 

 

S:7x2 4y2

4z2

7.

 

 

5)v 6 6x3

6 6y3 2z3 ;

uxzy2 ; M0 16 ; 16 ;1 .

6)z sin y

xz

M0(2; ;1). 7ɚ)

x2 – y = 0. 7ɛ)

z 1 2xy 2x2;

D:{ y x2; y 1}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

8 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1)

z

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

ln y;

 

ɪ

 

 

 

 

2)

z

y

 

 

 

 

 

x = 2, y = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x

 

y

z

1

 

2ln z

 

 

 

 

 

M0(2;-2;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

u

 

arctg

y

 

xy

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0(2;2;-1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S:

x2

y2

2z

10.

 

 

 

 

 

5)v

6

 

 

 

 

6

 

2 ; u

 

arctg

y

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

2y

 

3z

 

 

x

 

u

 

yz

2

; M0

1

;

1

;

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

2

3

6) z

arctg

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0( 4 ; 2 ; 4 ). 7ɚ)

2x + y -2 = 0.

7ɛ)

z 3 2x2 xy y2 ; D:{x 1; y 2; 2x + y 2}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

9 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z 1 (x2 y)

2) z

t2

t v

1

v2

;

 

 

 

cos(t v)

ɪ

 

 

 

 

 

t =

 

, v =

 

.

 

 

 

 

22

3)

z3

2xz

2y

0

 

M0(3;-2;2)

 

 

 

 

 

 

 

4)

u

ln(1

x2 )

xy z

 

M0(1;-2;4);

 

 

 

S:4x2 y2

z2

16.

5)v 3 2x2

 

y2

 

 

 

3 2z2 ;

 

 

 

 

 

2

 

 

u

 

xy2

 

 

1

;2;

2

.

 

 

; M0

 

z2

3

3

6) x

ln(z2

y2 )

M0(0;0;1).

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 - x - 1 = 0.

 

 

 

 

 

7ɛ) z

 

y2

xy

2;

 

 

D:{y2 x + 1; x 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

10 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z arcsin y x

2)

z

 

arcsin y

x ;

 

 

 

 

ɪ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 1, y =

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x3

 

z3

 

6xz

y3

 

M0(2;2;0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) u

 

x2

 

 

 

y2

z

 

M0(3;4;1);

 

 

 

 

 

S: x2

y2

 

 

 

24z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)v

3

4

 

 

 

 

1

;

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

6z

 

 

 

 

u

 

x3 y2

 

; M0 1;2;

1

.

 

 

 

z

 

6

6)

y

 

x tg

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

M0(2;2;

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɚ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y - 1 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7ɛ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

x2

 

3y2

x

y ;

D:{x 1; y 1; x + y 1}.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности