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Новосибирский государственный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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TPf(x,y)

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Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

11 ɜɚɪ ɚ ɬ.

2) z (x2

y2 )x2 y2

;

x = y =

1 .

z2 42

M0(1;4;5)

4) u

y) x

M0(1;1;-2);

S: x2 y2

5)v

1 ;

; M0 2;

;

x2 yz

6)(8 z2 )x2

4y2

M0(2;2;2).

7ɚ)

3x + 2y – 6 = 0.

7ɛ)

xy;

D:{x 0; y 0; 3x + 2y 6}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

12 ɜɚɪ ɚ ɬ.

ln y

ln cos x

2) z

xsin y

x2 ;

x = 3; y =

sin(x

cos(y

z) 1

M0(

;

)

;

(1;1;0); S: z

y2.

;

; M0 2; 2;

y2 z3

6) x2

9y2

4z ;

M0(3;0;-4).

7ɚ)

x + y - 6 = 0.

7ɛ)

xy(4

y) ;

D:{x 1; y 0; x + y 6}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

13 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z	lnsin x		y

2) z	arcsin	u	lnv ;
2) z	arcsin	v	lnv ;
		v

ɪu = 0; v =1.

x2	y2	2z2		3xyz
3)		2	0;
y	z	2	0;
M0(2;1;2)

				3
4) u (x2		y2	z2 )			;
4) u (x2		y2	z2 )		2	;
M (0;-3;4); S:2x2					y2 z2 7.
0
5)v x2		9y2	6z2 ;

uxyz ; M0 1;13; 16 .

6) x2 z y2 z	4;
M0(-2;0;1).

7ɚ)
x - y + 1 = 0.

7ɛ) z x2	2xy y2 4x ;

D:{x 3; y 0; y x +1}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

14 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z ln y2 x2 1

2) z ln x2 y2 1 ; y

ɪx = y = 12 .

2 x xy yz

3) ln(x z) 0;

M0(0;-2;1)

u ln (1 x2 y2 )

4)
	x2 z2 ;
M0(3;0;-4);
S: x2 9y2 6x z2								4z 23

5)v	2 3			6 ;
	x 2y			4z						.
u		y3			2	;	3	;	1
			; M0		2		3		1
		x2 z	; M0		3		2		2

6) x y ln(z2 y2 ) 0 ;

M0(-1;1;0). 7ɚ)

y - x2 +4 = 0.

7ɛ) z x2 2xy 10 ; D:{y x2 - 4; y 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

15 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z	ln(y2	2x)

2) z	arctg	1	ey ;

		xy

ɪx = y =1.

3) ln (z x) y z 0;

M0(1;-2;2)

4) u (x2 y2 z2 )2 ;

M0(1;1;1);

ei j k

5)v	2x2 3 y2 6 2z2 ;

uxy2 z ; M0 1; 23 ; 16 .

6)	x2		y2		z2	1;

4		9		16
M0(2;3;4).
7ɚ)
	x - y +2 =			0.

7ɛ) z x2 2xy y2 2x 2y ; D:{y x + 2; y 0; x 2}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

16 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z	x	y 1

2) z y2		xz ;

ɪx = 1; y = z =1.

3) yz5

x3 z

M0(0;1;1)

4) u x ln(z2

y2 ) ;

M0(2;1;1);

5)v

2 ;;

; M0

;

yz2

;

M0(1;2;2).

7ɚ)

x + y +1 = 0.

7ɛ) z y2

2xy x2 4y 1;

D:{x + y +1 0; x 0; y -3}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

17 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z	ln( x	y)

2) z	1	arctg	t 1	;

	cost		v

ɪt = ; v = 1.

3) y

M0(2;1;0)

4) u

x2 y

z2 ;

M0(1;5;-2);

5)v

3 ;

y2 z

; M0 2; 2;

6) z

;

M0(1;1;1).

7ɚ)

y - 4x2 + 4 = 0.

7ɛ)

2 ;

D:{y 4x2 - 4; y 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

18 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z arcsin3xy

2) z x y2 x2 ;

ɪx = 1; y = 2 .

3) y ln z 1; z x

M0(1;1;1)

4) u

yln(1

x2 )

arctg z;

M0(0;1;1);

3 j

5)v

3 3 ;

y2 z

; M0

; 2;

6) x2

2z;

M (

;

;1).

7ɚ)

2x - y

= 0.

7ɛ)

z 2x2

2xy

4x ;

D:{x 0; y 2; y 2x}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

19 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z	ln	x2	y2

2)z xarctg y ; x

ɪx = y = 1.

3)	2x2			2y2		z2 8yz
		z		8 0;

	M0(0;2;1)

4)	u		x(ln y			arctg z) ;
	M0(-2;1;-1);

	l		8i	4	j	8k

5)v 6 6x3						6 6y3 2z3 ;

uxzy2 ; M0 16 ; 16 ;1 .

	x2		y2		z2
6)						0;

16		18		9

M0(4;6;3). 7ɚ)

x + y + 2 = 0.

7ɛ) z x2 2xy y2 4x ; D:{x 0; y 0; x + y +2 0}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

20 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z arcsin(1 x2 y2 )

2) z ln x y ; x

x = e;

y = 1.

3) z3

2yz

M0(-2;3;2)

4) u

ln(3

x2 )

xy2 z ;

M0(1;3;2);

2 j

5)v

3z2 ;

yz2

; M0

;

6) z

cos

;

M0(-1; ;-1).

7ɚ)

x2 + y - 1 = 0.

7ɛ)

z x2 y ;

D:{y 1- x2; y 0}.

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