![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Распределение максвелла–больцмана
- •Распределение по координатам и импульсам
- •Распределение Максвелла
- •Распределение по импульсам
- •Распределение по скоростям
- •Средняя квадратичная проекция скорости
- •Распределение в сферических координатах
- •Распределение по модулю скорости
- •Наиболее вероятная скорость
- •Средняя скорость
- •Средняя квадратичная скорость
- •Распределение по энергии
- •Наиболее вероятная энергия
- •Средняя энергия
- •Плотность потока импульса
- •Плотность потока энергии
- •ВыТекание газа из отверстия сосуда в вакуум
- •Термоэлектронная эмиссия
- •Время выхода частицы из потенциальной ямы
- •Распределение Больцмана
- •Получение распределения
- •ФормулА Больцмана
- •Газ в центрифуге
- •Ориентационная поляризация диэлектрика
- •Термодинамические потенциалы Основные положения
- •Химический потенциал
- •Электрохимический потенциал
- •Внутренняя энергия
- •Равновесие двухфазной системы
- •Получение химического потенциала системы
- •Активность системы
- •Термодинамический потенциал Гиббса
- •Распределение частиц по состояниям
- •Большое каноническое распределение
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Интеграл состояния
- •Большое каноническое распределение
- •Вопросы коллоквиума
- •Вопросы экзамена
Время выхода частицы из потенциальной ямы
Частица может выйти из потенциальной ямы глубиной А благодаря тепловому движению. Получим характерное время выхода τ.
По определению плотности потока для одной частицы получаем
.
Сравниваем с
,
(П.5.12)
получаем
,
(П.5.14)
0
– характерное время выхода при
.Закон
Аррениуса – время выхода возрастает
экспоненциально с ростом глубины ямы.
Распределение Больцмана
Рассматривается распределение частиц идеального газа по координатам. В отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равновероятны.
Во
внешнем потенциальном поле частица
имеет потенциальную энергию
и на нее действует сила
,
направленная
в сторону быстрейшего уменьшения
.
Сила перемещает частицы газа в направлении,
где их энергия меньше, но их разбрасывает
тепловое движение. Конкуренция этих
тенденций создает равновесное
распределение концентрации частиц
.
Получение распределения
Используем каноническое распределение с гамильтонианом частицы
.
Слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому разделяются распределения по импульсам и координатам
.
Для координат получаем распределение Больцмана
(2.55)
– вероятность
обнаружения частицы в элементе объема;
–число частиц в
элементе объема
;
N – число частиц в объеме V;
–потенциальная
энергия частицы во внешнем поле.
Нормировка вероятности
дает
,
тогда
.
(2.55а)
Если
потенциальная энергия не зависит от x
и y,
тогда
,
интегрируем (2.55а) поx
и y,
находим вероятность
обнаружения частицы в интервале
:
;
(2.55б)
–плотность
вероятности, т. е. вероятность обнаружения
частицы в единичном интервале около z;
N –число частиц в объеме V;
(2.56)
– число
частиц в интервале
.
Мысленно
выделяем в объеме газа цилиндр с
поперечным сечением ,
образующей вдоль z,
и числом частиц
.
В интервале
число частиц
,
концентрация
.
(2.56а)
ФормулА Больцмана
Особенности
объекта. Газ
в однородном поле тяжести. Сила mg,
действующая на частицу, направлена
вниз. Тепловая энергия
раскидывает частицы по разным высотам.
Концентрация
уменьшается с высотойz.
Количественное описание. Потенциальная энергия частицы в поле тяжести
,
m – масса частицы. Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана
,
(П.6.1)
–концентрация
при
.
Если
N
частиц заполняют цилиндр 0
z
<
с поперечным сечением ,
тогда вероятность
обнаружить частицу в интервале
,
(П.6.2)
где
;
.
Концентрация около точки z
.
Площадь под кривой равна N.
Среднее положение частицы
,
где использовано
,
(5.6.2)
.
Число частиц в цилиндре
.
Для
средней потенциальной энергии частицы
с учетом
находим
.
Результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы
,
(2.38)
.
(2.39)
Для
потенциальной энергии
подставляем
.
Частные
значения.
При t
= 0С
для воздуха
= 29 кг/кмоль получаем
км. Число частиц в столбе воздуха с
единичным поперечным сечением выражаем
из
,
тогда при Р
= 760 мм р.с. находим
.
Число Лошмидта – концентрация молекул у поверхности земли
.