Распределение максвелла–больцмана

Дает распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.

Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.

Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.

Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.

Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.

Распределение по координатам и импульсам

Для N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме используем каноническое распределение

, ,

, (2.17)

.

Для частицы трехмерного газа с поступательным движением

,

, .

Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергии, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении

,

,

–распределение Максвелла, т. е. вероятность обнаружения у частицы импульса в единичном интервале около значения p.

распределение Больцмана, т. е. вероятность обнаружения у частицы координаты в единичном интервале около значения x.

Распределение Максвелла

Частицы в газе имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от самых малых до самых больших.

Для трехмерного идеального газа без внешнего поля с учетом лишь поступательных движений получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах при температуре T.

Распределение по импульсам

В декартовых координатах

,

,

,

каноническое распределение

дает

.

Интегрируем по координатам, учитываем , тогда

– вероятность обнаружения частицы с импульсом в интервале , где.

Распределение по скоростям

Заменяем ,:

(2.41)

– вероятность обнаружения частицы со скоростями в интервале .

Интегрируем (2.41) по и в пределах (–¥, ¥), используем интеграл Пуассона

, ,

получаем

, (2.42)

(2.42а)

– функция распределения по проекции скорости – относительное число частиц с проекцией скорости в единичном интервале около ;

n – концентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;

–концентрация частиц со скоростями в интервале около;

–концентрация частиц со скоростями в единичном интервале около .

Нормировка

,

,

.

Площадь под кривой – единица;

с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;

при получаем – все частицы останавливаются.

Средняя квадратичная проекция скорости

. (2.42б)

Доказательство:

Подставляем

, (2.42а)

находим

,

где использовано

,

, , .

Распределение в сферических координатах

В (2.41)

заменяем

,

,

получаем

, (2.43)

где – концентрация частиц со скоростями от (v, , ) до (v+dv, +d, +d).