10.5. Моделирование смо с помощью метода статистических испытаний

Моделируются одноканальные СМО с отказами.

I. Постановка задачи: Q = { , U, Z, R, H, A }

1) входной поток - поток однородных событий с заданным законом распределения;

2) время обслуживания - СВ, не зависящая от предыстории, с законом распределения f(^обсл);

3) система обслуживания с отказами, очередь есть

Z^н = 0, Z^k = 0

1

4) однофазная, одноканальная система обслуживания;

5) в фазе один канал и нет накопителя;

6) заявки на обслуживание поступают в порядке поступления ( принцип FIFO ) Каждая заявка имеет допустимое время ожидания ^*, которое является СВ и имеет соответственный закон распределения. (^* - собственная характеристика заявки ). Если собственное время ожидания меньше, чем время ожидания в очереди, то заявка получает отказ.

Задан интервал моделирования T, после Т обслуживание прекращается.

II. Формирование показателей эффективности:

P ^обсл - вероятность обслуживания,

Р^отк - вероятность отказа,

^ожид - среднее время ожидания,

^преб - среднее время пребывания заявки в системе.

III. Декомпозиция показателей эффективности:

Цель процесса декомпозиции состоит в том, чтобы определить структуру констант и переменных, которые будут входить в имитационную модель, а также определить структуру математических соотношений математической модели.

Здесь же строится временная диаграмма функционирования системы.

N* N

^преб =   _ij ^преб  1/N  1/N*

j=1 i=1

_i^преб = _i^ож + _i^обсл , _i^обсл - СВ с заданным законом распределения

_i^ож = t_i-1^{ок.обсл} - t_i

₁ ₂ ₃

₁^обсл ₂^обсл

₂^ож ₃^ож

отказ

t_i = _i-1 + _i , _i - СВ с заданным законом распределения

t_i-1^{ок.обсл} = t_i-1^н.обсл + _i-1^обсл

t_i-1^н.обсл = t_i-1 , если канал свободен и очереди нет

t_i-2^{ок.обсл}, в противном случае ( если канал занят )

Р^отк = m/N1, где m - количество всех отказанных заявок для всех N*

реализаций,

N1 - количество заявок, пришедших в систему, для всех

N* реализаций.

m = m +1, если t_i-1^{ок.обсл} > t_i + _i*^ож

P ^обсл = 1 - Р^отк

IV. Концептуальная модель ( первый уровень детализации алгоритма относительно концептуальной модели ):

начало

исход. данные для

1 моделир-я

исход. данные для 10

2 реализации

формирование

формирование 3 вход.потока t_i 6 t_i^н.обс = t_i

_i^*ож

4t_i < T формирование

t_i^ок.ож = t_{i +} _i^*ож 7 ^обс

да

5 нет

t_i < t_i-1^ок.обс 8 t_i^ок.обс = t_i^н.обс + ^обс

нет

t_i^ок.ож < t_i-1^ок.обс

счетчик

да 9 обслуживания

заявок

счетчик t_i^н.обс = t_i-1^ок.обс

отказов

10 ^преб

обработка

результатов и

10 вывод 3

конец

10.6. Формирование входного потока ( 3 -ий блок )

Рассмотрим возможности формализации воздействия внешней среды, которые представляются в Q - схемах в виде некоторых источников (И) или в виде входных потоков в системах.

Формирование однородных потоков событий, заданных в общем виде многомерным интегральным законом

F (y₁, y₂, ... , y_n) = P (₁ < y₁, ₂ < y₂, ... , _n < y_n) (10.15)

или многомерной функцией плотности распределения

f (y₁, y₂, ... , y_n) (20.16),

сводится к формированию n - мерного вектора и получению машинной реализации этого вектора, что часто является математической трудностью, а также требует больших затрат машинного времени, поэтому при построении модели стремятся любыми путями ввести ограничения на входные потоки и избежать решения задач (10.15) и (10.16) впрямую.

Для ординарных потоков с ограниченным последействием интервалы между моментами поступления заявок являются независимыми и совместная функция плотности распределения может быть представлена в виде произведения част. закона распределения

f (y₁, y₂, ... , y_n) = f₁(y₁) f₂ (y₂) . . . f_n(y_n) (10.17),

где все f_i(y_i) , i = 1,n являются условными функциями плотности распределения СВ _i при условии, что в момент начала i-го интервала поступает заявка. Относительно ₀ никаких предположений не делается, поэтому f₁(₁) является безусловной.

Если поток удовлетворяет свойству стационарности, то при i >1функции плотности распределения будут одинаковыми

f₂(₂) = f₃(₃) = ... = f_n(_n) (10.18),

за исключением 1-го интервала, плотность распределения которого определяется по формуле Пальма

₁

f₁(₁) =  [ 1 -  f()d] (10.19)

0

Определение функции плотности распределения для 1-го интервала в простейшем потоке:

I . f() = e^-

₁ ₁ -₁

f₁(₁) =  [ 1 -  f()d] =  [ 1 - e^- d] = e (10.20)

0 0

Алгоритм формирования:

1) определяется закон распределения всех интервалов за исключением 1-го;

2) определяется функция плотности распределения 1-го интервала, используя формулу Пальма.

II. Поток Эрланга:

Функция плотности распределения:

()^k-1

f_k() = e^-

(k-1)!

₁ ()^k-1

f₁(₁) =  [ 1 -  e^- d] (10.21)

0 (k-1)!

Взяв интеграл (20.7) для всех k > 1, мы будем получать трансцендентные уравнения относительно _1i.

Трансцендентные уравнения можно решить, используя только численные методы, тем самым в определении 1-го интервала мы вносим ошибку соответствующего численного метода. Мы также можем предположить, что все интервалы, включая 1-ый, будут распределены одинаково. И тогда выбрать то и другое можно в зависимости от того, какую погрешность мы можем ввести в результаты моделирования.

₁¹ ₂¹ ₃¹ Э¹

₁² ₂² Э

_i¹ = -1/ ln x_j

₁² = ₁¹ + ₂¹ = -1/ ( ln x_j + ln x_j+1 ) = -1/ ln ( x_j  x_j+1)

k

_i^k = -1/ ln  x_j (10.22)

j=1

Формирование неординарных потоков:

При формировании неординарного потока в общем случае необходимо решить следующие задачи:

1) определить интервалы между пачками;

2) определить размер пачки;

3) решить вопрос о распределении внутри пачки.

Весь интервал моделирования разбиваем на t (t = const ) и дальше считаем, что внутри t количество событий является СВ с заданным законом распределения. В этом случае алгоритм формирования входного потока будет следующим:

а) необходимо сформировать размер пачки в соответствии с заданным законом распределения.

б) - считаем, что на t заявки распределены равномерно, и определяем интервал  между заявками _i = t/ k_i ;

- считаем, что интервалы между пачками являются СВ с заданным законом распределения, размер пачки - СВ.

Этап программной реализации нужно начинать с иерархии программных модулей.