1. Построение точечного прогноза и доверительного интервала для линейной многофакторной модели регрессии.

Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии

2. Корреляция для нелинейной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

,

где – общая дисперсия результативного признака,

– остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Нелинейно относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейная по оцениваемым параметрам.

При линеаризации принимает форму той же линейной парной регрессии, в этом случае для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции

Нелинейно по оцениваемым параметрам.

В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным переменным дает лишь приблизительную оценку связи и численное соотношение не выполняется.

Средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации оценивает точность модели.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем качестве подбора уравнения регрессии к исходным данным. Допустимый предел не более 8%-10%

3. Нелинейные модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Особенности использования этих моделей в экономических задачах.

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная - используется при построение и анализе производственных функций, как в микроэкономических, так и в макроэкономических исследованиях;

• показательная ;

• экспоненциальная - используется для описания экономических показателей, которые характеризуются приблизительно постоянным темпом прироста во времени;

• обратная - кривые насыщения применяются для характеристики явлений и процессов, величина роста которых является ограниченной величиной (например, в демографии).

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Широкое распространение степенныхзависимостей объясняется относительно простой линеаризацией, а также тем, что коэффициенты регрессии являются эластичностями результативного признакапо факторам.

Нелинейные по оцениваемым параметрам модели регрессии подразделяются на 2 вида:

• внутреннелинейные;

• внутренненелинейные.

В первом случае модель с помощью определенных преобразований может быть приведена к линейному виду. К ним применимы, с определенными допущениями, все методы оценки параметров, оценки значимости уравнения регрессии в целом, и другие методы для линейных моделей.

Во втором случае модель не сводится к линейной модели никакими преобразованиями:

,

, и другие.

В этом случае для определения параметров итакже используется МНК. В итоге получается система нелинейных уравнений.

4. Нелинейные модели регрессии, линейные по оцениваемым параметрам. Особенности их использования..

К моделям регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных (но линейных по оцениваемым параметрам), относятся полиномы выше второго порядка и гиперболическая функция.

Модели регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных, характеризуются тем, что зависимая переменная  линейно связана с параметрами  модели.

Полиномы или полиномиальные функции применяются при анализе процессов с монотонным развитием и отсутствием пределов роста. Данному условию отвечает большинство экономических показателей (например, натуральные показатели промышленного производства). Полиномиальные функции характеризуются отсутствием явной зависимости приростов факторных переменных от значений результативной переменной .

Общий вид полинома n-го порядка (n-ой степени):

Чаще всего в эконометрическом моделировании применяется полином второго порядка (параболическая функция), характеризующий равноускоренное развитие процесса (равноускоренный рост или снижение уровней):

.

Полиномы, чей порядок выше четвёртого, в эконометрических исследованиях обычно не применяются, потому что они не способны точно отразить существующую зависимость между результативной и факторными переменными.

Гиперболическая функция характеризует нелинейную зависимость между результативной переменной  и факторной переменной , однако, данная функция является линейной по оцениваемым параметрам  и .

Гиперболическая функция имеет вид:

Данная гиперболическая функция является равносторонней.

В качестве примера эконометрической модели в виде гиперболической функции можно привести модель зависимости затрат на единицу продукции от объёма производства.

Неизвестные параметры  модели регрессии, нелинейной по факторным переменным, можно найти только после того, как модели будет приведена к линейному виду.

Для того чтобы оценить неизвестные параметры  нелинейной регрессионной модели необходимо привести её к линейному виду. Суть процесс линеаризации нелинейных по факторным переменным моделей регрессии заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные переменные.

Рассмотрим процесс линеаризации полиномиальной функции порядка n:

Заменим все факторные переменные на линейные следующим образом:

…

Тогда модель множественной регрессии можно записать в виде:

Рассмотрим процесс линеаризации гиперболической функции:

Данная функция может быть приведена к линейному виду путём замены нелинейной факторной переменной на линейную переменную с. Тогда модель регрессии можно записать в виде:

Зависимость такого рода используется для характеристики сырья материалов и т.д. и объема выпускаемой продукции.

Модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, могут быть преобразованы к линейному виду. Это позволяет применять к линеаризованным моделям регрессии классические методы определения неизвестных параметров модели (метод наименьших квадратов), а также методы проверки различных гипотез.