Практика 7. Предел последовательности

7.1.Предел последовательности

Определение последовательности. Определение предела последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (поставить определения из лекций).

Определение 1. П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь это функция натурального аргумента: an = f(n); n 2 N:

Здесь n номер члена последовательности, an общий член последовательности. Последовательность

a1; a2; : : : ; an; : : :

обозначают fang. Элементы a1; a2; : : :, из которых составлена последовательность, называют членами последовательности. Последовательности, членами которых являются числа, называют ч и с л о в ы м и.

и говорят, что an сходится (или стремится) к a.

Спомощью кванторов определение 2 записывается так: число a п р е д е л п о с л е - д о в а т е л ь н о с т и fang, åñëè

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N jan aj < ":

Число a называется п р е д е л о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т и fang, если для каждой " окрестности числа a найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности.

Иными словами, какую бы окрестность числа a ни взять, вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо находится лишь конечное число ее членов.

Если последовательность fang сходится к нулю, то она называется б е с -

êî í å ÷ í î ì à ë î é.

Âкванторах: fang называется б е с к о н е ч н о м а л о й, если

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N janj < ":

1

Определение 5. Последовательность, не имеющая предела, называется р а с х о д я - щ е й с я.

Последовательность fang называют б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й, если

8 E > 0 9 N(E) 2 N : 8 n > N janj > E:

В этом случае пишут

lim an = 1

n!1

и говорят, что последовательность имеет б е с к о н е ч н ы й п р е д е л.

В соответствии со сказанным выше последовательности, имеющие бесконечные пределы, являются расходящимися. Но нередко от этого правила отступают и называют такие последовательности сходящимися к соответствующему бесконечному пределу. В настоящем курсе, когда говорится о с х о д и м о с т и последовательности, это всегда будет озна- чать, что она имеет к о н е ч н ы й п р е д е л. В тех случаях, когда последовательность может иметь и бесконечный предел, это будет специально оговариваться.

Пример 1. ( 42 а) Доказать, что fang (n = 1; 2; : : :) есть б е с к о н е ч н о м а л а я (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого " > 0 число N = N(") такое, что janj < " ïðè n > N, åñëè

ìåð1, N = [1="] + 1. Тогда для любого n > N имеем

janj = 1=n < 1=N < ";

что и требовалось доказать.

Связь между числом " и номером N в данном случае следующая: если " = 0; 1, то

Доказать, что

lim an = 1;

n!1

определив для каждого " > 0 число N = N(") такое, что

jan 1j < "; åñëè n > N:

Имеет место оценка

Возьмем произвольное число " > 0. Выберем натуральное N такое, что 1=N < ", например, N = [1="]+1. Тогда для любого n > N имеем jan 1j < 1=n < ", что и требовалось доказать.

2

Пример 3. ( 43 а) Доказать, что последовательность

an = ( 1)nn

имеет бесконечный предел при n ! 1 (то есть является бесконечно большой), определив для всякого E > 0 число N = N(E) такое, что janj > E ïðè n > N.

Имеет место тождество

janj = j( 1)nnj = n:

Рис. 1: Значения последовательности an = ( 1)nn на числовой оси.

Пусть E произвольное положительное число, а N такое натуральное число, что N > E (например, N = [E] + 1). Тогда для всех n > N верно неравенство

janj = n > N > E:

Это и означает, что lim ( 1)nn = 1

n!1

Пример 4. ( 45 б) Сформулировать с помощью неравенств утверждение

lim an = 1:

n!1

Последовательность fang имеет пределом 1, если

8 E > 0 9 N(E) 2 N : 8 n > N an < E:

Пример 5. ( 91) Доказать, что если

lim an = a;

n!1

òî

lim janj = jaj:

n!1

Возьмем произвольное " > 0. Для него существует номер N = N(") такой, что

jan aj < ", если n > N, поскольку lim an = a. Тогда для n > N в силу свойств модуля

n!1

а) Если q = 0, то равенство а) очевидно. Пусть " > 0 произвольно и 0 < jqj < 1. Тогда, j1qj 1 > 0 и для любого n 1 справедливо2

2Здесь использовалось биномиальное разложение, в котором все слагаемые положительные.

3

Вывод: при jqj > 1

значит, lim qn = 1 ïðè jqj > 1.

n!1

7.2.Ограниченность и сходимость последовательности

Определение 6. Последовательность о г р а н и ч е н а, если ограничено числовое множество значений ее членов.

В символах: fang ограниченная последовательность (о г р а н и ч е н а), если

9C > 0 : 8 n 2 N janj C:

fang неограниченная последовательность (н е о г р а н и ч е н а), если

8C > 0 9 n 2 N : janj > C:

Т е о р е м а . Если последовательность сходится, то она ограничена.

Ограниченность последовательности н е о б х о д и м о е условие ее сходимости, т. е. если последовательность неограничена, то она расходится.

Пример 7. Доказать, что последовательность f(n3 5)=n2g расходится.Докажем, что данная последовательность неограничена. Имеем

5

an = n n2 n 5:

Пусть C произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное

число n0 > C+5, тогда an0 n0 5 > C. Это означает, что последовательность f(n3 5)=n2g неограничена, а поэтому расходится.

4

7.3.Задачи для самостоятельной работы

42(á,â,ã), 43(á,â), 44, 45 (à, â), 58, 62.

Доказать, что предел стационарной последовательности an = c, где c некоторая константа, равен этой константе.

Доказать утверждение: для того чтобы последовательность fang была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность fjanjg была бесконечно малой.

Справедливо ли утверждение: если последовательность fjanjg сходится, то и последовательность fang сходится. Обосновать.

Сформулировать в символах определения ограниченной последовательности сверху (снизу), неограниченной последовательности сверху (снизу).

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

5