Практика 8. Теоремы о пределах; нахождение пределов

8.1.Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями

Свойства бесконечно малых последовательностей

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную бесконечно малая.

Обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая: если f ng бесконечно малая последовательность и n 6= 0 ïðè âñåõ n, òî f1= ng бесконечно большая последовательность.

Арифметические свойства пределов

1. Если последовательность fang сходится, то для любого c существует

lim c an = c lim an:

n!1 n!1

2.Если последовательности fang è fbng сходятся, то

(a)существует

(b) существует

(c) åñëè ê òîìó æå bn 6= 0 ïðè âñåõ n è lim bn 6= 0, то существует

n!1

Пример 1. Найти

lim (2n + 1)2 : n!1 3n2 + 1

Заметим, что в числителе и в знаменателе стоят многочлены 2-го порядка (старшая степень n2). Преобразуем формулу для общего члена, поделив числитель и знаменатель на старшую степень (при этом не требуется раскрывать квадрат суммы в числителе):

1

Учитывая, что f1=ng, f1=n2g бесконечно малые последовательности, и используя арифметические свойства пределов, получаем

Учитывая, что f1=ng, f1=n2g, f1=n4g бесконечно малые последовательности, и используя арифметические свойства пределов, получаем

Пример 3. Найти

lim n3 100n2 + 1: n!1 100n2 + 15n

Заметим, что в числителе многочлен 3-го порядка, а в знаменателе 2-го (старшая степень n3). Преобразуем формулу для общего члена, поделив числитель и знаменатель

Учитывая, что f1=ng, f1=n2g, f1=n3g бесконечно малые последовательности, видим, что предел числителя равен 1, предел знаменателя равен 0. Свойство (2c) не работает,

воспользуемся тем, что обратная к бесконечно малой последовательности является бесконечно большой. Учтя при этом, что члены последовательностей, стоящих в числителе и знаменателе, положительны1 (хотя бы начиная с некоторого номера), получим

.

1Все члены сходящейся последовательности с достаточно большими номерами положительны, если е¼ предел положителен, и отрицательны, если предел отрицателен.

2

Используя алгоритм, примененный в рассмотренных примерах, нетрудно сделать вывод, что

В знаменателе, очевидно, многочлен 2-го порядка, а в числителе стоит разность мно- гочленов (n + 1)3 è (n 1)3, порядок которой нужно определить. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения2:

(n + 1)3 (n 1)3 = 6n2 + 2:

В числителе и знаменателе многочлены одинакового порядка, следовательно, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях :

Приведя слагаемые к общему знаменателю и воспользовавшись формулой для нахождения суммы n 1 членов арифметической прогрессии3, получим

тельности, но их бесконечно много. В результате мы получили, что их сумма не является бесконечно малой.

Пример 6. Найти

lim 2n 1: n!1 3n + 1

Òàê êàê lim qn = 0 ïðè jqj < 1, òî

n!1

3

Пример 7. Найти

lim sin n:

n!1 n

Так как f1=ng бесконечно малая последовательность, а fsin ng ограниченная (для всех n верно j sin nj 1), то

8.2.Теоремы о пределах, связанные с неравенствами

Теорема "о двух милиционерах\:

Предельные переходы в неравенствах. Если fang è fbng сходящиеся последовательности, то справедливы утверждения

Пример 8. Пусть lim xn = 0 è xn 1 для любого n 2 N; пусть p 2 N. Доказать, что

n!1

4

Пример 10. Доказать равенство

Слева и справа в двойном неравенстве стоят бесконечно малые последовательности,

следовательно, по теореме "о двух милиционерах\ и последовательность fn=ang ïðè a > 1 является бесконечно малой.

8.3.Задачи для самостоятельной работы

46, 47, 48, 49, 50, 52, 53 (ñì. 2), 56, 57, 60.

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

5