algebra

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

Н. Ю. Золотых1

3 февраля 2008 г.

1Факультет вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета.

2

Это рабочий вариант записок лекций по курсу геометрии и алгебры, который читает автор на факультете вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета c 1998 г.

Лекции содержат огромное количество опечаток. Однако надеюсь, что они (лекции) все равно будут полезны.

Несмотря на то, что за все многочисленные ошибки, неточности и опечатки отвечает автор, на экзамене претензии насчет качества этого документа не принимаются.

Последнюю версию лекций Вы всегда найдете по адресу

4.11 Многочлены с рациональными коэффициентами . . . . . . . . . . . 64 4.12 Метод Шуберта–Кронекера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.13 Алгебраические расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.14 Границы для комплексных и вещественных корней многочленов . . 71 4.15 Распределение корней многочленов на вещественной оси . . . . . 73

6.5Описание подпространства и линейного многообразия . . . . . . . 114

6.6Матричные операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.7.1Выражение коэффициентов характеристического многочле-

1.2. Отображения

Правило, или закон, по которому каждому элементу x множества A ставится в соответствие единственный элемент y множества B называется отображением. Элемент y называется образом элемента x, а x — прообразом элемента y. Тот факт, что отображение действует из множества A в множество B, обозначают: A B. Для отображения образ элемента x обозначают x или (x).

Если A и B — некоторые подмножества множества , то отображение называется (числовой)

функцией. Отображение называется последовательностью.

Отображение называется инъективным, или просто инъекцией, если образы любых двух отличных друг от друга элементов x и y из A различны, т.е.

x, y x y, x A, y A x y.

Отображение называется сюръективным, или просто сюръекцией, если для произвольного элемента их B найдется по крайней мере один прообраз.

Отображение называется биективным (биекцией), или взаимно однозначным, если оно одновременно и инъективно, и сюръективно. Как легко видеть, это условие эквивалентно тому что, любой элемент из B имеет ровно один прообраз.

Упражнение 1.1. Докажите, что для существования инъекции A B необходимо и достаточно существование сюръекции B A.

Заметим, что если существуют инъекция A B и сюръекция A B, то существует и биекция A B. Это интуитивно ясное утверждение, между тем, имеет достаточно сложное доказательство и мы на нем не останавливаемся.

Пусть множества A и B конечны. Легко видеть, что тогда

• для существования инъекции A B необходимо и достаточно, чтобы A

B ;

• для существования сюръекции A B необходимо и достаточно, чтобы

A B ;

• для существования биекции A B необходимо и достаточно, чтобы A

B .

Эти утверждения позволяют теперь дать следующие определения. Для произвольных множеств A и B (в том числе бесконечных) будем говорить, что мощность A меньше или равна мощности B, и записывать A B , если существует инъекция A B. Будем говорить, что мощность A больше или равна мощности B, и записывать A B , если существует сюръекция A B. И наконец, будем говорить, что мощности множеств A и B равны (множества A и B равномощны), и записывать A B , если существует биекция A B.

Докажем теперь, что 2 , где 2 — множество четных целых чисел. Действительно, биекция : 2 задается, например, формулой (x) 2x. Легко видеть, что любое четное число имеет при этом отображении единственный

, то, конечно, . Скоро мы увидим, что биекции не существует и, таким образом, . Множества, равномощные множеству натуральных чисел называются счетными, или множествами мощности 0 (читается ‘алеф-0’). Множества, равномощные множеству действительных чисел называются континуальными (мощности континуума), или множествами мощности 1 (читается ‘алеф-1’).

1.3. Свойства счетных множеств

Теорема 1.5. Любое бесконечное множество A содержит счетное подмножество B.

Доказательство. Действительно, выберем из множества A произвольный элемент a1, так как A бесконечно, то мы можем в A выбрать другой элемент a2 a1, далее выбираем в A элемент a3, отличный от a1 и a2 и т. д. Пусть B {a1, a2, a3, }. Очевидно, B — счетно.

Теорема 1.6. Всякое бесконечное подмножество B счетного множества A само счетно.

Доказательство. Так как A счетно, то мы можем считать, что A {a1, a2, a3, }. Найдем наименьший индекс i1 (номер в ряду элементов), такой, что ai1 B, далее выберем наименьший индекс i2, отличный от i1, для которого ai2 B и т. д. Таким образом, B {a1, a2, a3, }. Очевидно, B — счетно.

Теорема 1.7. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств — счетно.

Доказательство. Докажем утверждение для случая счетного множества счетных множеств. Пусть

A1 {a11, a12, a13, }

A2 {a21, a22, a23, }

A3 {a31, a32, a33, }

.

.

.

— семейство счетных множеств. Для установления биекции A1 A2 необходимо предложить некоторое правило обхода элементов этих множеств,