AlgAndGeom-2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Радиофизический факультет

А.Б. Корчагин

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций 2-й семестр

Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета

для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 013801 "Радиофизика и электроника"

010403 "Информационные технологии в радиофизике и телекоммуникациях"

Нижний Новгород 2012

Глава 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§21. Матрицы и операции над ними

Определение 21.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Матрицу, имеющую m ≥ 1 строк и n ≥ 1 столбцов, будем называть матрицей размера m × n. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число m = n называется её порядком. Обычное обозначение:

Числа aij называются элементами матрицы или её координатами (как у вектора). Матрицы размера 1 × n и m × 1, т.е.

называются соответственно вектор-строкой и вектор-столбцом. Множество всех матриц размера m × n образуют mn-мерное арифмети-

ческое пространство Rmn, в котором каждая матрица представляет собой вектор, имеющий mn координат. Рис.

Определение 21.2. Две матрицы называются равными, если они имеют один размера и равны их соответствующие элементы.

Определение 21.3. Для квадратной матрицы

последовательность элементов a11, a22, . . . , ann называется главной диагональю матрицы, а последовательность an1, a(n−1)2, . . . , a1n — побочной.

Сложение матриц.

Для матриц одного размера можно определить операцию поэлементного сложения (аналогичную покоординатному сложению векторов).

3

Определение 21.4. Пусть A = (aij) и B = (bij) — матрицы одного размера m ×n, тогда матрица C того же размера, элементы которой определены по формуле cij = aij + bij, называется суммой матриц A и B, и пишут

Замечание 21.5. 1) Т.к. сложение чисел коммутативно: aij +bij = bij +aij, то и сложение матриц коммутативно: A + B = B + A.

2) Т.к. сложение чисел ассоциативно: (aij + bij) + ij = aij + (bij + ij), то и сложение матриц ассоциативно: (A + B) + C = A + (B + C).

Умножение матрицы на число.

Для любой матрицы можно определить операцию поэлементного умножения на одно и то же число.

Определение 21.6. Пусть A = (aij) — произвольная матрица и λ R

— число, тогда матрица C того же размера, элементы которой определены по формуле cij = λaij, называется произведением матрицы A на число λ, и

4

Замечание 21.7. 1) Т.к. умножение чисел ассоциативно: (µλ)aij = µ(λaij), то и умножение матрицы на числа ассоциативно: (µλ)A = µ(λA).

2) Т.к. умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. (λ+µ)aij = λaij + λaij и λ(aij + bij) = λaij + λbij, то и умножение матриц на число дистрибутивно

2.1) как относительно сложения чисел, т.е. (λ + µ)A = λA + µA, 2.2) так и относительно сложения матриц, т.е. λ(A + B) = λA + λB.

Определение 21.8. Пусть A = (aij) и B = (bij) — матрицы одного размера, тогда матрица C = A + (−1)B называется разностью матриц A и B. Ясно, что cij = aij − bij, и поэтому пишут C = A − B.

Замечание 21.9. Операции сложения и умножения на число превращают множество матриц размера m × n в линейное (=векторное) пространство Rmn.

Умножение матриц.

Для матрицы A = (aij) размера m ×n и матрицы B = (bij) размера n ×p можно определить операцию умножения следующим образом.

Заметим сначала, что если два вектора имеют одинаковое количество координат, то сумма попарных произведений их соответствующих координат можно интерпретировать как их скалярное произведение. Например, i-тая строка (ai1, ai2, . . . , ain) матрицы

b

иj-тый столбец 2j матрицы

. . .

bnj

имеют одинаковое количество координат, и поэтому можно вычислить их скалярное произведение:

∑n

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj = aikbkj. k=1

5

Т.к. i = 1, 2, . . . , m и i = 1, 2, . . . , p, то таких скалярных произведений имеется mp штук, из которых можно составить матрицу размера m × p.

Определение 21.10. Матрица C размера m × p, элементы которой вычисляют по формуле

∑n

cij = aikbkj k=1

называется произведением матриц A и B, и записывается C = A · B = AB. Другими словами, элемент cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Пример.

Замечание 21.11. Если для матриц A, B и C следующие операции определены, то выполнены свойства

1)ассоциативность умножения (AB)C = A(BC),

2)дистрибутивность умножения относительно сложения (A+B)C = AC+

BC и A(B + C) = AB + AC.

Доказательство этих свойств можно найти в учебнике В. А. Ильина и Э. Г. Позняка.

Замечание 21.12. Ясно, что умножение определено для двух любых квадратных матриц A и B одного порядка n; причём определены оба произведения AB и BA. Однако в общем случае AB ≠ BA, т.е. произведение

6

называются диагональными. В частности при d1 = d2 = · · · = dn = 1, диаго-

10 . . . 0

называется единичной матрицей, а при d1 = d2 = · · · = dn = 0 матрица

называется нулевой матрицей.

Замечание 21.15. Легко проверить, что единичная и нулевая матрицы коммутируют с любой матрицей A того же размера, причём AE = EA = A

и AO = OA = O.

Определение 21.16. Если в матрице A размера m×n поменять местами строки и столбцы, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к матрице A. Транспонированная матрица имеет размер n × m

Теорема 21.17. Пусть A и B — такие матрицы, что произведение AB определено, тогда (AB) = B A .

Доказательство.

7

§22. Перестановки

Определение 22.1. Для множества целых чисел {1, 2, . . . , n} любой упорядоченный набор k1k2 . . . kn тех же чисел называется перестановкой.

Лемма 22.2. Для множества {1, 2, . . . , n} существует n! = 1·2·3·...·n его перестановок.

Доказательство. 1) При n = 1 для множества {1} существует одна перестановка: 1.

2)При n = 2 для множества {1, 2} существуют две перестановки, которые получаются из перестановки 1 приписыванием двойки сзади и спереди: 12 и 21. Здесь 2 = 1 · 2 = 2!.

3)При n = 3 для множества {1, 2, 3} существуют 6 перестановок, которые получаются из перестановок 12 и 21 приписыванием тройки на 3 места в каждой из этих 2-х перестановок: 123, 132, 312; 213, 132 и 321. Здесь 6 = 2! · 3 = 3!.

4)При n = 4 для множества {1, 2, 3, 4} существуют 24 перестановки, которые получаются из перестановок 123, . . . , 321 приписыванием четверки на 4 места в каждой из этих 6-ти перестановок: 1234, 1243, 1423, 4123, ... , 4321. Здесь 24 = 3! · 4 = 4!.

5)При n = 5 существуют 120 = 4! · 5 = 5! перестановок 12345, ... , 54321.

......................................................................................................

n) Для множества {1, 2, . . . , n} существует n! = (n − 1)! · n = 1 · 2 · 3 · ... · n его перестановок 12...n, ... , n...21.

Пусть k1k2 . . . kn — перестановка чисел 1, 2, . . . , n.

Определение 22.3. Если в перестановке k1 . . . i . . . j . . . kn большее число i расположено перед меньшим числом j (т.е. i > j и они не обязательно рядом), то будем говорить, что i и j образуют инверсию. Обозначим через inv(k1k2 . . . kn) число инверсий в перестановке k1k2 . . . kn.

Пример. 1) inv(123) = 0,

2)inv(213) = 1, инверсию образуют числа 2 и 1,

3)inv(132) = 2, инверсию образуют пары 3 и 1, 3 и 2,

Определение 22.4. Если в перестановке число инверсий четно, то она называется чётной, в противном случае — нечетной.

8

Пример. Перестановка 123 — четная, 213 — нечетная, 312 — четная. Определение 22.5. Пусть ... s ... t ... — перестановка из n чисел (на ме-

стах, обозначенных многоточием, стоят другие числа или ничего не стоит). Перемена местами только чисел s и t называется транспозицией и обозначается (s, t). В результате получается перестановка ... t ... s ... .

Пример. Перестановка 213 получается из 312 транспозицией (3, 2), а 312 из 213 транспозицией (2, 3).

Лемма 22.6. От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановки из этих чисел, последовательно применив несколько подходящих транспозиций.

Доказательство. Это можно сделать, например, с помощью последовательности транспозиций рядом стоящих чисел.

Лемма 22.7. Если к перестановке ... ik ... применить транспозицию (ik), то число инверсий либо увеличится на 1, либо уменьшится на 1.

Доказательство. При транспозиции рядом стоящих чисел i и k либо возникает, либо пропадает одна инверсия.

Лемма 22.8. Если к перестановке ... is1s2...spk ... применить транспозицию (ik), то четность перестановки изменится.

Доказательство. Транспозиция (ik) может быть представлена в виде следующей последовательности транспозиций:

(ik) = (is1)(is2)...(isp)(ik)(spk)...(s2k)(s1k).

Осуществлено 2p + 1 транспозиций; поэтому четность меняется.

Из лемм 22.7 и 22.8 следует, что любая транспозиция меняет четность перестановки.

Лемма 22.9. При n > 1 в множестве {1, 2, . . . , n} число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно n!/2.

Доказательство. Пусть a — количество четных перестановок, b — нечетных и при этом a ≥ b. Сделаем у всех перестановок, например, транспозицию (12), тогда b станет количеством четных перестановок, а a — нечетных и при этом b ≥ a. Следовательно a = b. По лемме 22.2 имеем a = b = n!/2.

9

§23. Определитель и его свойства

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:

Пусть a1k1 a2k2 . . . ankn — произведение элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Т.к. произведение ассоциативно, то мы упорядочили сомножители по возрастанию первого индекса; при таком упорядочении вторые индексы образуют некоторую перестановку k1k2 . . . kn множества чисел {1, 2, . . . , n}.

Определение 23.1. Алгебраическая сумма

∑

(−1)inv(k1k2:::kn)a1k1 a2k2 . . . ankn ,

k1k2:::kn

взятая по всем перестановкам множества {1, 2, . . . , n}, называется определителем матрицы A. Слагаемые называются членами определителя, а порядок матрицы — порядком определителя.

Из леммы 22.2 следует, что определитель имеет n! членов. Определитель матрицы A обозначается

a31 a32 a33

=(−1)inv(123)a11a22a33 + (−1)inv(132)a11a23a32 + (−1)inv(312)a13a21a32+ +(−1)inv(213)a12a21a33 + (−1)inv(231)a12a23a31 + (−1)inv(321)a13a22a31 =

10