AlgAndGeom-2

s) При k = s − 1 имеем bs = as + c1b1 + c2b2 + . . . + cs−1bs−1.

s.1) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор b1 и требуя,

чтобы (bs, b1) = 0 (т.е. (bs b1)), получим c1(b1, b1) = −(as, b1) и находим

c1 = −(as; b1) . (b1; b1)

s.2) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор b2 и требуя,

чтобы (bs, b2) = 0 (т.е. (bs b2)), получим c1(b2, b2) = −(as, b2) и находим

c2 = −(as; b2) . (b2; b2)

..........................................................................................

s.(s − 1)) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор bs−1 и

Следствие 32.4. В любом s-мерном (1 ≤ s ≤ n) подпространстве L Rn можно построить ортогональный базис b1, b2, . . ., bs.

Следствие 32.5. В любом s-мерном (1 ≤ s ≤ n) подпространстве L Rn можно построить ортонормированный базис

Следующий пример разъясняет процесс ортогонализации и доказательство теор. 32.3.

Пример. Применяя процесс ортогонализации к совокупности векторов

a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (3, 3, −1, −1); a3 = (−1, 0, 3, 4)

пространства R4, получаем:

1)b1 = a1 = (1, 1, 1, 1);

2)b2 = a2 + c1b1;

(b2, b1) = (a2, b1) + c1(b1, b1);

0 = (a2, b1) + c1(b1, b1);

c1 = −(a2; b1) = −1; (b1; b1)

b2 = a2 − b1 = (2, 2, −2, −2);

3) b3 = a3 + c1b1 + c2b2;

51

Замечание 32.6. Пусть a1, a2, . . ., as — произвольный (в частности, быть может ортогональный b1, b2, . . ., bs) базис в подпространстве L Rn, где dim L = s и 1 ≤ dim L ≤ n.

Определение 32.7. Вектор x Rn ортогональный каждому вектору базиса a1, a2, . . ., as пространства L называется ортогональным пространству L, пишут x L. Другими словами, x L, согда

{ (a1, x) = 0, (a2, x) = 0, . . . , (as, x) = 0

или согда в координатах

Замечание 32.8. Оказывается, решая однородные системы, мы находили векторы X = x , перпендикулярные к вектор-строкам матрицы этой системы. В частности, все векторы фундаментальной системы решений ортогональны этим вектор-строкам.

Лемма 32.8. Вектор x L ортогонален любому вектору a L.

Доказательство. Т.к. a = α1a1 + α2a2 + . . . + αsas, то

(a, x) = α1(a1, x) + α2(a2, x) + . . . + αs(as, x) = 0.

Откуда произыде требуемый результат.

Определение 32.9. Пусть K, L Rn — линейные подпространства. Если любые векторы x K и y K ортогональны, т.е. (x, y) = 0, то подпространства K и L называются ортогональными в Rn, пишут K L.

Замечание 32.10. Если вектор-строки a1, a2, . . ., as матрицы A системы (♯) линейно независимы и L их линейная оболочка, то dim L = rank A = s. Число главных неизвестных системы (♯) равно s, число свободных неизвестных равно n−s. Если K — пространство решений системы (♯), то его размерность dim K = n − s. Поэтому dim L + dim K = n. По построению K L.

52

Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§33. Сумма подпространств. Формула Грассмана.

Определение 33.1. Пусть L1 и L2 — подпространства пространства Rn.

Доказательство. Пусть e1, e2, . . . , es — базис в L1 и f1, f2, . . . , ft — базис в L2, x = x1e1 + x2e2 + . . . + xses и y = y1f1 + y2f2 + . . . + ytft — разложения векторов x и y в этих базисах. Тогда множество L1 + L2 векторов x + y = x1e1 + x2e2 + . . . + xses + y1f1 + y2f2 + . . . + ytft является линейной оболочкой натянутой на векторы обоих базисов. По лемме 27.6 линейная оболочка L1 + L2 является линейным пространством.

любых векторов x, y L1 ∩L2 и числа α R выполнены включения x + y

L1 ∩ L2 и αx L1 ∩ L2.

1) Если x, y L1 ∩ L2, то x, y L1 и x, y L2. Т.к. L1 и L2 линейные пространства, то x + y L1 и x + y L2, и по определению пресечения x + y L1 ∩ L2.

2) Если x L1 ∩ L2, то x L1 и x L2. Т.к. L1 и L2 линейные пространства, то αx L1 и αx L2, и по определению пресечения αx L1 ∩ L2.

Теорема 33.5. (О дополнении до базиса.) Пусть

1)L1 L2 — линейные подпространства пространства Rn;

2)L1 имеет базис (e0): e1, e2, . . . , es;

3)L2 имеет базис f1′, f2′, . . . , fk′ .

Тогда базис e1, e2, . . . , es подпространства L1 можно дополнить до базиса

(ek−s) : e1, e2, . . . , es, f1, f2, . . . , fk−s

подпространства L2, где {f1, f2, . . . , fk−s} {f1′, f2′, . . . , fk′ }.

53

Доказательство. Для совокупности векторов e1, e2, . . . , es, f1′ составляем и решаем уравнение

α1e1 + α2e2 + · · · + αses + αs+1f1′ = 0

относительно α1, α2, . . . , αs+1. Если система имеет единственное нулевое решение, то по опред. 2.3 векторы e1, e2, . . . , es, f1′ линейно независимы, и мы обозначаем f1 = f1′ и дополняем базис (e) до базиса (e1): e1, e2, . . . , es, f1. Если система имеет ненулевое решение, то по опред. 2.4 векторы e1, e2, . . . , es, f1′ линейно зависимы (т.е. f1′ L1), и мы опускаем вектор f1 из рассмотрения.

Применяя эту конструкцию необходимое число раз, получим требуемый базис (ek−s).

Следствие 33.6. Пусть L1 и L2 — линейные подпространства пространства Rn, и подпространство L1 ∩ L2 имеет базис e1, e2, . . . , es (e). Тогда

1) базис (e) можно дополнить до базиса подпространства L1:

e1, e2, . . . , es, f1, f2, . . . , fk;

2) базис (e) можно дополнить до базиса подпространства L2:

e1, e2, . . . , es, g1, g2, . . . , gl;

3) совокупность векторов

e1, e2, . . . , es, f1, f2, . . . , fk, g1, g2, . . . , gl

является базисом пространства L1 + L2.

Теорема 33.7. (Формула Грассмана.)

dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 − dim L1 ∩ L2

Доказательство. Из предыдущей теоремы имеем dim (L1 + L2) = s + k + l, dim L1 = s + k, dim L2 = s + l, dim L1 ∩ L2 = s. Легко проверить, что dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 − dim L1 ∩ L2 — тождество.

Определение 33.8. Если L1, L2 Rn — подпространства и L1 ∩ L2 — нульмерное подпространство (т.е. равное o = R0), то сумма L1 + L2 называется прямой и обозначается L1 L2.

Ясно, что dim (L1 L2) = dim L1 + dim L2.

Примеры. (См. примеры после леммы 27.6.)

1) L(e1) L(e2) = R2, L(e1) L(e2) L(e3) = R3, . . . , L(e1) L(e2)

. . . L(en) = Rn;

54

2)L(e1) L(e2) = L(e1 + e2) L(e1 − e2) = R2;

3)L(e1 + e2, e3) = L(e1 + e2) L(e3).

Замечание 33.9. Пространства прямой суммы в общем случае не являются ортогональными.

Определение 33.10. 1) Если линейное пространство L представимо в виде L = L1 L2, то подпространство L1 называется дополнением к пространству L2 в пространстве L, и наоборот.

1) Если евклидово пространство пространство L представимо в виде L = L1 L2, и L1 L2, то подпространство L1 называется ортогональным дополнением к пространству L2 в пространстве L, и наоборот.

Примеры. 1) Т.к. L(2e1 + e2) L(e1 + 2e2) = R2, то линейные оболочки L(2e1 + e2) и L(e1 + 2e2) являются дополнениями друг к другу на плоско-

кдругу.

3)Если на плоскости R2 скалярное произведение задано по формуле

(x, y) = x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2 (см. 30.5), то слагаемые в прямой сумме L(e1) L(e2) = R2 являются дополнениями друг к другу, однако, не являются ортогональными дополнениями.

§34. Линейные отображения

Определение 34.1. Пусть Rn и Rm — линейные пространства. Отображение a : Rn → Rm называется линейным, если для любых векторов x, z Rn и любого числа k R оно удовлетворяет условиям:

(i) a(x + z) = a(x) + a(z); (ii) a(kx) = k a(x).

Определение 34.2. 1) Множество

im a = a (Rn) = {y Rm x Rn, такой что y = a(x)}

называется образом пространства Rn при отображении a. 2) Множество

ker a = {x Rn a(x) = o}

называется ядром отображения a. Другими словами, ядро — это множество векторов, образом которых является нулевой вектор o Rm.

55

Замечание 34.3. 1) По опред. 34.1 линейное отображение переводит сумму векторов из Rn в сумму их образов в Rm и переводит произведение вектора на число из Rn в произведение образа-вектора на то же число в Rm. Это означает, что каждое линейное отображение сохраняет линейную структуру. Другими словами,

а) если L Rn — линейное подпространство, то его образ a(L) является линейным подпространством в Rm;

б) если K Rm — линейное подпространство, то его полный прообраз a−1(K) является линейным подпространством в Rn.

2)Из пункта а) следует, что образ im a = a (Rn) является подпространством в Rm.

3)Из пункта б) следует, что ядро ker a является подпространством в Rn. Определение 34.4. Отображение a : Rn → Rm называется линейным,

если для любых x, z Rn и для любых k, l R оно удовлетворяет условию:

a(kx + lz) = k a(x) + l a(z).

Лемма 34.5. Определения 34.1 и 34.4 эквивалентны.

Доказательство. 1) Пусть выполнено опред. 34.1, тогда

(i) (ii)

a(kx + lz) = a(kx) + a(lz) = ka(x) + la(z).

2) Пусть выполнено опред. 34.4, тогда при k = l = 1 получаем условие (i), а при k = 1 и l = 0 получаем условие (ii).

a(kX + lZ) = A(kX + lZ) = AkX + AlZ = kAX + lAZ = ka(X) + la(Z).

56

Матрица A размера m ×n называется матрицей линейного отображения a.

2) Нулевое отображение o : Rn → Rm, определённое по формуле o(x) =! o, является линейным, т.к.

! !

o(kx + lz) = o = ko + lo = k o(x) + l o(z).

Нулевое отображение имеет нулевую матрицу Om×n. Ясно, что im o = o(Rn) = o и ker o = Rn.

3) Тождественное отображение 1 : Rn → Rn, определённое по формуле

!

1(x) = x, является линейным, т.к.

! !

1(kx + lz) = kx + lz = k 1(x) + l 1(z).

Тождественное отображение 1 имеет матрицу E. Ясно, что im 1 = 1(Rn) =

Rn и ker 1 = o.

6:10

4) Пусть e = (cos α, cos β, cos γ) — направление, т.е. e — единичный вектор в R3. Вектор-проекция вектора x на направление e вычисляется по формуле (см. 5.2 и 6.2)

−→

P rex = (x, e)e.

Определим отображение p : R3 → R3 по формуле p(x) =! (x, e)e. Отображение p реализует проекцию пространства R3 на прямую L параллельную вектору e и проходящую через начало координат. Проекция p является линейным отображением, т.к.

! !

p(kx + lz) = (kx + lz, e)e = k(x, e)e + l(z, e)e = k p(x) + l p(z).

Образом отображения p является прямая L, т.е. im p = p(R3) = L. Ядром является плоскость Π, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой L, т.е. ker p = Π.

Вычислим матрицу P отображения p, представляя его в виде Y = P X.

Y = y = p(x) = (x, e)e =

= (cos α x1 + cos β x2 + cos γ x3)(cos α, cos β, cos γ) =

= (cos2α x1 + cos α cos β x2 + cos α cos γ x3,

cos β cos α x1 + cos2β x2 + cos β cos γ x3,

cos γ cos α x1 + cos γ cos β x2 + cos2γ x3) =

57

5) Отображение q : R3 → R3, определённое по формуле q(x) =! x − (x, e)e, есть проекция пространства R3 на плоскость Π, перпендикулярную вектору e и проходящую через начало координат. Проекция q есть линейное отображение, т.к.

!

q(kx + lz) = kx + lz + (kx + lz, e)e = kx + k(x, e)e + lz + l(z, e)e =

!

= k[x + (x, e)e] + l[z + (z, e)e] = k q(x) + l q(z).

Образом отображения q является плоскость Π, перпендикулярная вектору e и проходящая через начало координат, т.е. im q = q(R3) = Π. Ядром отображения q является прямая L, перпендикулярная плоскости Π и проходящая через начало координат, т.е. ker p = L. Из формулы q(x) = x−(x, e)e следует, что проекция q имеет матрицу

6) Отображение r : R3 → R3, определённое по формуле r(x) =! x−2(x, e)e, есть зеркальное отражение пространства R3 относительно плоскости Π, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору e. Зеркальное отражение r есть линейное отображение, т.к.

!

r(kx + lz) = kx + lz + 2(kx + lz, e)e = kx + 2k(x, e)e + lz + 2l(z, e)e =

58

!

= k[x + 2(x, e)e] + l[z + 2(z, e)e] = k r(x) + l r(z).

Образом отображения r является пространство R3, т.е. im r = r(R3) = R3. Ядром отображения r является вектор o, т.е. ker r = o. Из формулы r(x) = x − 2(x, e)e следует, что зеркальное отражение r имеет матрицу

Замечание 34.7. 1) Если e = (cos α1, cos α2, . . . , cos αn) Rn — единичный вектор и x = (x1, x2, . . . , xn) Rn — переменный вектор, то формула p(x) = (x, e)e задаёт ортогональную проекцию p : Rn → Rn пространства Rn на прямую L(e) (линейную оболочку вектора e). По n-мерной теореме Пифагора имеем cos2 α1 + cos2 α2 + . . . + cos2 αn = 1.

2) Формула q(x) = x − (x, e)e задаёт ортогональную проекцию q : Rn → Rn пространства Rn вдоль прямой L(e) на гиперплоскость Π, перпендикулярную вектору e, проходящую через начало координат. Гиперплоскость Π задаётся одним линейным уравнением

cos α1 x1 + cos α2 x2 + . . . + cos αn xn = 0

и поэтому является линейным (n − 1)-мерным подпространством в Rn. Заметим, что это уравнение является нормальным, и с его помощью можно находить расстояние от любой точки (x01, x02, . . . , x0n) Rn до гиперплоскости Π.

3) Формула r(x) = x − 2(x, e)e задаёт зеркальное отражение r : Rn → Rn пространства Rn относительно (n − 1)-мерного зеркала Π.

§35. Линейные операторы

Определение 35.1. Линейное отображение a : Rn → Rn называется линейным оператором. При этом в двух копия пространства Rn (т.е. в области определения Rn и области значений Rn) считается заданным один и тот же базис (e): e1, e2, . . . , en.

Замечание 35.2. Линейный оператор a, как частный случай линейного отображения, удовлетворяет условиям линейности (34.1 и 34.4)

(i) a(x + z) = a(x) + a(z); (ii) a(kx) = k a(x);

и имеет квадратную матрицу.

59

Определение 35.3. Пусть a : Rn → Rn — линейный оператор, (e): e1, e2,

. . . , en — базис в пространстве Rn и

a(e1) = a11e1 + a12e2 + · · · + a1nen = (a11, a12, . . . , a1n), a(e2) = a21e1 + a22e2 + · · · + a2nen = (a21, a22, . . . , a2n),

называется матрицей преобразования базиса.

Подчеркнём, что элементы k-й строки матрицы A являются координатами образа a(ek) в базисе (e).

Теорема 35.4. (О матрице линейного оператора.) Если A — матрица преобразования базиса линейного оператора a, то A есть матрица оператора a в этом базисе, другими словами, оператор в координатной форме задаётся по формуле Y = A X или y = xA.

Доказательство. Пусть x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen Rn — переменный вектор, тогда

Y = y = a(x) = a(x1e1 + x2e2 + · · · + xnen) =

= x1a(e1) + x2a(e2) + · · · + xna(en) = x1(a11, a12, . . . , a1n)+

+x2(a21, a22, . . . , a2n) + · · · + xn(an1, an2, . . . , ann) =

= (a11x1, a12x1, . . . , a1nx1)+

+(a21x2, a22x2, . . . , a2nx2) + · · · + (an1xn, an2xn, . . . , annxn) =

= (a11x1 + a21x2 + . . . + an1xn, a12x1 + a22x2 + . . . + an2xn, . . . ,

a1nx1 + a2nx2 + . . . + annxn) =

60