MMATHAN05

Интеграл Римана—Стильтьеса зависит от функций f (x), α(x) и пределов интегрирования a и b, но не зависит от переменной интегрирования:

f (x) dα(x) = f (t) dα(t),

a

Перечислим основные свойства интеграла Римана—Стильтьеса:

10. Если f непрерывна на [a, b], то f Rα[a, b].

20. Если f монотонна на [a, b], а α непрерывна и монотонно возрастающая на [a, b], то f Rα[a, b].

30. Если f Rα[a, b], g Rα[a, b] и c — любая постоянная, то

f + g Rα[a, b], f g Rα[a, b], cf Rα[a, b], |f | Rα[a, b].

40. Если f Rα1 [a, b], f Rα2 [a, b] и c > 0 — любая постоянная, то

f Rα1+α2 [a, b], f Rcα[a, b].

bb

aa

Определение 2.9

1) Для любого разбиения P сегмента [a, b] положим

иназовем μ(P ) диаметром разбиения P .

2)Пусть P — любое разбиение сегмента [a, b]. Выберем точки

t1, t2, . . . , tn, такие, что ti [xi−1, xi]. Для ограниченной функции f (x) рассмотрим сумму

n

σ(P, f, α) = f (ti)Δαi

i=1

и назовем ее интегральной суммой функции f (x) относительно функции α(x).

3) По определению

lim σ(P, f, α) = A

μ(P )→0

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( (P ) [a, b], μ(P ) < δ)( ti [xi−1, xi]) :

|σ(P, f, α) − A| < ε.

72

Также, как и для интеграла Римана, имеет место теорема о пределе интегральной суммы.

В отличие от интеграла Римана обратное утверждение, вообще говоря, не выполняется. Существуют функции интегрируемые по Риману—Стильтьесу, для которых предел интегральной суммы не существует, что показывает следующий пример.

П р и м е р. Пусть

α

Рис. 2.3

Рассмотрим возможные разбиения отрезка [−1, 1]. Возможны два случая:

1) Точка x = 0 попадает в число точек разбиения P1 (рис 2.4). Очевидно, что для любых i = k приращение αi = α(xi ) −

α(xi−1) = 0, а αk = α(xk ) − α(xk−1) = 1. Тогда

73

2) Точка x = 0 не попадает в число точек разбиения P2 (рис. 2.5).

=1

Очевидно, что

inf S(p, f, α) = sup s(P, f, α) = 0,

P P

т.е. интеграл Римана-Стильтьеса от функции f (x) относительно функции α(x) существует и равен

1

f (x) dα(x) = 0,

−1

74

иlim σ(P2, f, α) не существует.

μ(P )→0

Достаточные условия существования предела интегральной суммы Римана—Стильтьеса дает следующая теорема.

Теорема 2.20

(Условия существования предела интегральной суммы). Если

1)f (x) C[a, b]

или если

2)f (x) Rα[a, b] и α(x) C[a, b],

то предел интегральной суммы существует.

И, наконец, дадим физический пример применения интеграла Римана—Стильтьеса.

П р и м е р

Задача о статическом моменте масс.

Предположим, что вдоль отрезка [a, b] оси x расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так и распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для x > a через α(x) сумму всех масс, расположенных на отрезке от a до x. Очевидно α(x) монотонно возрастающая функция.

Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат. Разобьем сегмент [a, b] на части точками

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi−1 < xi < · · · xn = b.

На отрезке, соединяющем точки xi−1 и xi содержится, очевидно, масса α(xi ) − α(xi−1) = αi. Считая массу для каждого отрезка сосредоточенной в некоторых точках ti [xi−1, xi], получим для искомого статического момента приближенное выражение

По теореме 2.20 предел интегральной суммы (2.6) существует и равен

76

Глава 3

Практикум по теме интегрирование

Занятие 1. Интегрирование с помощью таблиц

Задание

Используя таблицу неопределенных интегралов найти следующие интегралы:

= x − th x + C.

При решении следующих примеров будем использовать свойство интегралов от функций, аргументом которых является линейная функция:

Если f (x) dx = F (x) + C, то

f (ax + b) dx = F (ax + b) + C. a

79

&

'