Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATHAN05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

где t = √1 − x2.

3) Найти интеграл			dx			=	x−145 (1 + x)−51	dx.
		3	5
				1
	x		1 +
					x

Третий случай интегрируемости биномиального дифференциала:

m = −

, n = 1, p = −

m + 1

−

+ 1

+ p

= −2 — целое

число. После замены

t = 5 1 +

получаем

= t5 − 1,

dx =

5t4

x =

−

dt,

t5 − 1

(t5 − 1)2

3 5 dx

1 = (t

−t 1)

(−t5

1)2 = (5t3 − 5t8) dt =

5t4 dt

1 +

−

где t = 5 1 +

−

+ C,

Подстановки Эйлера. Рассмотрим интеграл

+ bx + c

ax2

dx,

где R(x, √ax2 + bx + c) — рациональная функция своих аргументов. Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных действительных корней. Различаются три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью которых интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции.

1 подстановка. Эта подстановка применяется, когда квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет комплексные корни. В этом случае очевидно, что a > 0, а подстановка имеет вид

√ t = ax2 + dx + c ± x a.

Для определенности возьмем знак “+”. Возводя в квадрат обе части

равенства

√ ax2 + bx + c = t − x a,

a − t2

получим bx + c = t

−

√

atx. Откуда следует

t2 − c

√

at2 + bt + √

x =

ax2 + bx + c =

b + 2√at

√

at2 + bt + √

b + 2√at

dx = 2

(b + 2√

dt.

at)2

Таким образом,

R(x,

ax2

+ bx + c)dx =

√

b + 2√at

(b + 2√at)2

= R

− c

+ bt +

dt.

Справа под знаком интеграла находится рациональная функция.

2 подстановка При комплексных корнях квадратного трехчлена ax2 +bx+c очевидно, что и c > 0. Учитывая это, в некоторых случаях выгодно сделать следующую подстановку

= tx ± √

ax2 + bx + c

Тогда, например, в случае знака “+”

2√

√

ct2 − bt + √

x =

ct − b

ax2

+ bx + c =

a − t2

√

− bt +

√

a − t2

dx = 2

dt,

(a − t2)2

и рассматриваемый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции

R(x, ax2 + bx + c)dx =

= R		−t2
	a −
	2√ct	b

√

− bt +

√

bt + √

ct −

dt.

(a − t2)2

3 подстановка. Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет действительные корни λ и μ. Тогда квадратный трехчлен допускает разложение на множители ax2 +bx+c =

= a(x−λ)(x−μ). В этом случае интеграл сводится к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки

ax2 + bx + c

= t(x − λ).

Действительно,

−aμ + λt2

a(λ − μ)t

dx = 2

a(λ − μ)t

dt,

x =

ax2 + bx + c

t2 − a

(t2 − a)2

R(x,

)dx =

ax2 + bx + c

−aμ + λt2

a(λ − μ)t

dt.

t2 − a

(t2 − a)2

П р и м е р ы

1) Найти интеграл

x x2 − 2x + 2 dx.

Применяя 1-ю подстановку Эйлера

= t − x,

x2 − 2x + 2

получаем

t2 − 2

1 t2

2t + 2

t2 − 2t + 2

x =

dx =

dt,

−2

2x + 2

2(t − 1)

2 (−t − 1)2

2 2(t − 1)

dx =

−

2)(t

− 2t + 2)

−

2x + 2

dt.

(t − 1)4

Последний интеграл проще всего вычисляется заменой t − 1 = z. Тогда

+ 2z

1)(z2

+ 1)2

x2 − 2x + 2 dx =

−

dz =

z2 + 2z + 1 +

−

+ C,

+ z2 + z + 4 ln |z| +

−

3z3

где z = x − 1 +

√

− 2x + 2.

2) Найти интеграл

1 + √

1 2x

−

Применим 2-ю подстановку Эйлера

= tx − 1.

1 − 2x − x2

Тогда

x = 2

t − 1

dx = 2

−t2 + 2t + 1

= 2t

t − 1

dt,

1 +

−

t2 + 1

(t2 + 1)2

t2 + 2t + 1

1 + √

−

dt =

t(t − 1)(t2 + 1)

1 − 2x − x2

= −

−

= ln

−

− 2 arctg t + C,

t2 + 1

−

где t =

1 + √

1 − 2x + x2

√

3) Найти интеграл

x −

+ 3x + 2 dx.

x + √

x2 + 3x + 2

Применим 3-ю подстановку Эйлера

= t(x + 1).

(x + 1)(x + 2)

Тогда

x =

2 − t2

dx =

−2t

dt,

+ 3x + 2 =

t2 − 1

(t2 − 1)2

t2 − 1

√

−2t

x −

+ 3x + 2

+ t − 2

dt =

x +

t2 − t − 2 (t2 − 1)2

√x2 + 3x + 2

−2t2 − 4t

=(t + 1)3(t − 1)(t − 2) dt.

Коэффициенты в разложении

−2t2 − 4t

(t + 1)3(t − 1)(t − 2)

+ 1)3

(t + 1)2

t + 1

t − 1

t − 2

ищем с помощью формулы (1.4):

1 dk

P (x)

Ak =

(x − a)n

x=a .

dxk

Q(x)

Итак,

2t2

−

1 =

−

3t + 2

−

1 d

−2t

− 4t

−

8t − 8

1! dt

3t + 2 t=

(t2

−

3t + 2)2

−

10t

+ 12t

+ 24t

−

A2 =

−

(t2

−

1= −

dt2

−

3t + 2

−

3t + 2)3

−

108

B =

−2t

−

, C =

−2t

− 4t

+ 1)3(t

t=1

1) t=2

−

Окончательно получаем

√

x − √x2 + 3x + 2 dx = x + x2 + 3x + 2

=				1			+			5		−	17	1		+			3	1		−	16			1			dt =

		3(t + 1)3						18(t + 1)2					108		t + 1				4		t − 1			27			t − 2
1				5							17	ln \|t + 1\| +				3		ln \|t − 1\|−					16		ln \|t			− 2\| + C,
= −					−					−
= −	6(t + 1)2				−	18(t + 1)				−	108						4						27
			√
			√	2
где t =				x + 3x + 2					.
где t =									.
				x + 1
																													35

1.6. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида

R(sin x, cos x)dx,

где R(sin x, cos x) - рациональная функция своих аргументов sin x и

cos x. Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции с помощью универсальной подстановки

t =

(−π < x < π).

Действительно,

2 sin

cos

2 tg

sin x = 2 sin

cos

cos2

+ sin2

1 + tg 2

1 + t

cos2

− sin2

1 − tg

1 − t2

cos x = cos2

−

sin2

1 + t2

2 x

cos

+ sin

1 + tg

x = 2 arctg t,

dx =

2dt

1 + t2

так что

R(sin x, cos x)dx =

1 − t2

2dt

1 + t2

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи интегрирования функции R(sin x, cos x), когда получаются более простые подынтегральные выражения, нежели при универсальной подстановке.

Установим предварительно следующую лемму

Лемма 1.1

Пусть R(u, v) - рациональная функция двух переменных.

10. Если R(u, v) нечетная относительно аргумента u, т.е.

R(−u, v) ≡ −R(u, v),

то она представима в виде

R(u, v) = R1(u2, v)u.

20. Если R(u, v) нечетная относительно аргумента v, т.е.

R(u, −v) ≡ −R(u, v),

то она представима в виде

R(u, v) = R2(u, v2)v.

30. Если R(u, v) четная функция относительно двух своих аргументов u и v, т.е. R(−u, −v) = R(u, v), то она представима в виде

(когда v = 0)

R(u, v) = R3 uv , v2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

10. Если функция R(u, v) — нечетная относительно u, то функция

R(u, v) — четная относительно u и, очевидно, она может быть u

приведена к виду

R(u, v) = R1(u2, v), u

содержащему лишь четные степени u. Откуда следует, что

R(u, v) = R1(u2, v)u.

20. Устанавливается аналогично.

30. Пусть функция R(u, v) удовлетворяет условию

R(−u, −v) = R(u, v).

В этом случае, заменяя u на

v, будем иметь

R(u, v) = R

= R˜

v, v

, v .

В силу четности функции R по обоим аргументам имеем

R˜

v , −v = R˜ −v , −v = R˜

, v .

−

Но тогда можем записать

R(u, v) = R˜

, v = R3

, v2 .

Рассмотрим случаи, в которых можно избежать универсальной подстановки.

1 случай. Пусть

R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x).

Тогда, сделав подстановку

t = cos x,

получаем интеграл от рациональной функции. Действительно, применяя п. 10 леммы, имеем R(sin x, cos x) = R1(sin2 x, cos x) sin x, и

R(sin x, cos x)dx = R1(sin2 x, cos x) sin xdx =

= − R1(sin2 x, cos x)d cos x = − R1(1 − t2, t)dt.

2 случай. Если

R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x),

то подстановка

t = sin x

приводит к интегрированию рациональной функции.

Используя п. 20 леммы, получаем

R(sin x, cos x)dx = R2(sin x, cos2 x) cos xdx =

= R2(sin x, cos2 x)d sin x = R2(t, 1 − t2)dt.

3 случай. Пусть, наконец,

R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).

В этом случае делается подстановка
t = tg x,		−	π		π
				< x <		.
			2	< x <	2	.
Тогда x = arctg t, dx =	dt	, и используя п. 30 леммы, получаем

	1 + t2
	1 + t2

R(sin x, cos x)dx = R3( tg x, cos2 x)dx =

= R3 tg x,

dx =

R3 t,

1 + tg 2x

1 + t2

П р и м е р ы

1) Найти интеграл

sin5 x

dx.

cos2 x

Подынтегральная функция нечетная относительно sin x. После замены t = cos x имеем

sin5 x

cos2 x dx = −

= 1 + 2t − t3 t 3

2) Найти интеграл


	(1	t2)2		1
		−		dt = −				+ 2 − t2 dt =
		t2				t2
		1					1
+ C =					+ 2 cos x −				cos3 x + C.
			cos x				3

sin2 x cos7 x dx.

Подынтегральная функция нечетная относительно cos x. В этом случае удобно сделать замену t = sin x. Тогда,

	sin2 x cos7 x dx =					t2(1 − t2)3 dt =										(t2 − 3t4 + 3t6 − t8) dt =
				t3				3			3					t9
	=					−				t5 +			t7 −				+ C =
				3					5		7					9
	1				3						3					1
	=		sin3 x	−			sin5 x +							sin7 x −					sin9 x + C.
		3				5						7						9
3) Найти интеграл								1 + sin2 x
															dx.
								1 + cos2 x

Подынтегральная функция четная относительно cos x и sin x. За-

мена t = tg x. Имеем

cos2 x =

, sin2 x =

dx =

1 + t2

1 + sin2 x

1 + 2t2

dx =

dt =

−

dt =

1 + cos2 x

(2 + t2)(1 + t2)

t2 + 2

t2 + 1

tg x

= √

arctg

√

− arctg t + C

= √

arctg

√

− x + C.

4) Найти интеграл

sin x + 2

В этом случае подынтегральная функция — функция общего вида относительно sin x и cos x. Делаем универсальную замену:

t = tg					x		x = 2 arctg x,					dx = 2			dt				sin x =							2t
						,												,									.
					2	,								1 + t2				,							1 + t2		.
Тогда
						dx		=				dt							dt
													=													=
				sin x + 2						t2 + t + 1			=				t +		1	2				3		=
																				+
																			2	+				4
	2							1		2				2					2 tg		x		+ 1
	2						t	1		2				2					2 tg				+ 1
=	√		arctg					+		√		+ C = √				arctg				√2						+ C.
									2
		3							2		3				3							3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025386.05 Кб0mir_ek.doc
#
01.05.2025845.48 Кб0MKLI_Zadachi.rtf
#
27.03.20151.12 Mб41MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб29MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб112MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб28MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб4moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб3moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб12moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx
#
21.08.2019168.96 Кб3Monitoring_Smi_Abudulin_10-SO(2).doc