MMATHAN05

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 a sin 2t dt = −3a cos 2t 0

2 a sin 2t dt = −3a cos 2t 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

	y
		a
-a	a x	2a
		-a
	Рис. 4.15	Рис. 4.16

Используем параметрическое представление астроиды

x = a cos3 t, y = a sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π).

Тогда

(

x 2 (t) + y 2 (t) = (−3a cos2 t sin t)2 + (3a sin2 t cos t)2 =

=9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t =

= 3a(cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t) = 3a
= 3a(cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t) = 3a	sin4	2t = 2 a\| sin 2t\|.
	2	3
	2

При 0 ≤ t ≤ 2 имеем | sin 2t| = sin 2t и по формуле (4.8) получаем

5. Найти длину дуги кривой x = cos4 t, y = sin4 t.

Из задания кривой следует, что x ≥ 0, y ≥ 0, т.е кривая лежит в первом квадранте и, следовательно, достаточно рассмотреть изме-

нение параметра t от 0 до 2 .

171

Длину дуги кривой находим используя формулу (4.8).

(

x 2 (t) + y 2 (t) = (−4 cos3 t sin t)2 + (4 sin 3t cos t)2 =

(

= 16 cos6 t sin2 t + 16 sin6 t cos2 t = 16 sin2 t cos2 t(cos4 t + sin4 t) =

(

=8 sin2 t cos2 t(1 + cos2 2t) = sin 2t 2(1 + cos2 2t),

L =

sin 2t

2(1 + cos2 2t) dt = −

2(1 + cos2 2t) d cos 2t =

−1

= [ замена cos 2t = z] =

−√

+ 1 dz =

√

+ 1 dz =

= √2 2

z2 + 1 +

2 ln(z +

z2 + 1

ln(1 +

√

= √2

√2 +

ln(1 + √2) = 1 +

√

6. Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos ϕ) (рис. 4.16).

Имеем

(

= (

r2 (ϕ) + r 2 (ϕ)

a2(1 + cos ϕ)2 + a2 sin2 ϕ

= a(

= a

1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ + sin2 ϕ

2(1 + cos ϕ)

= a

4 cos2

2 = 2a cos

Если 0 ≤

ϕ ≤ π, то cos

= cos

и по формуле (4.11)

= 8a.

L = 2

2a cos 2 dϕ = 8a sin

172

7. Найти длину дуги кривой r = a emϕ

(m > 0) при 0 < r < a.

Заметим, что r изменяется на кривой от 0 до a, когда ϕ изменяется от −∞ до 0. Следовательно,

L =

dϕ =

a2 e2mϕ + a2m2 e2mϕ

a emϕ

+ 1 dϕ =

−∞

= m m2

= m

m2 + 1.

+ 1 emϕ

−∞

Задачи для самостоятельной работы

Найти длины дуг следующих кривых:

1. y = x 2 (0 ≤ x ≤ 4).

2. y = ln cos x	0 ≤ x ≤ α <	π	.
		2

3.y2 = 2px (0 ≤ x ≤ x0)..

4.x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π).

5.x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t) при 0 ≤ t ≤ 2π).

6.r = aϕ при 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

7.r = a sin3 ϕ3 (0 ≤ ϕ ≤ 3π).

Ответы

27 (10√10

− 1).

2. ln tg 4

+ 2 .

x0 + 2

√

x0 +

√

+ p ln

. 4. 8a. 5. 2π

a. 6.

πa

1 + 4π

ln(2π +

√

3πa

1 + 4π

). 7.

173

Занятие 3. Вычисление площадей поверхностей вращения

Если в качестве параметра в задании кривой AB взять длину дуги s (0 ≤ s ≤ L, L — длина AB), то площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг прямой l равна

L
Pl = 2π 0	R(s) ds,	(4.12)
Рис. 4.17

где R(s) - расстояние от точки на кри-

вой, соответствующей значению s, до прямой l (рис. 4.17).

Задание

Найти площади поверхностей, образованных вращением следующих кривых:


			π		π
1.	y = cos x	−		≤			вокруг оси Ox.
			2		2
2.	y = tg x 0 ≤ x ≤					π		вокруг оси Ox.

						4

3.x2 + (y − b)2 = a2 (b ≥ a) вокруг оси Ox.

4.y3 = x (−1 ≤ x ≤ 8) вокруг оси Oy.

5. x = a(t −sin t), y = a(1 −cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) вокруг прямой y = 2a.

6. r2 = a2 cos 2ϕ:	а) вокруг полярной оси; б) вокруг оси ϕ =			π	;
6. r2 = a2 cos 2ϕ:	а) вокруг полярной оси; б) вокруг оси ϕ =			2	;
	ϕ =	π		2
		π
в) вокруг оси			.
в) вокруг оси		4	.
174

Решения

1. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой

y = cos x	−	π	≤	π

		2		2
вокруг оси Ox.

В формуле (4.12) перейдем к новой переменной интегрирования

(

x. Тогда R = y(x) = cos x, ds = 1 + y 2 (x) dx и

Px = 2π π

y(x)(

1 + y 2 (x)

dx = 2π π

cos x 1 + sin2 x dx =

− 2

= 4π

d sin x = 4π

1 + sin2 x

1 + t2 dt =

= 4π 2 1 + t2 +

2 ln(t + ln(t +

1 + t2)

√2)).

= 2π(√2 + ln(1 +

0π

Рис. 4.18

2. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой

y = tg x, 0 ≤ x ≤ 4 , вокруг оси x (рис. 4.18).

175

Применим формулу (4.12)

π			π
4	4
Px = 2π 0	y(x)(	1 + y 2 (x)	dx = 2π 0

tg x 1 + cos4 x dx.

После замены tg x = t имеем

1 + t2

1 + (1 + t2)2 dt.

Px = 2π

Сделав еще замену z =

1 + (1 + t2)2

, получаем

1 + (1 + t2) + z2,

1 + t2 = z2 − 1,

2t dt =

√

dz,

z2 − 1

√

2 dz

Px = π

z2 − 1

√

5(z2

1) + 1

= π

−

= π 1 +

dt =

z2 − 1

(z − 1)(z + 1)

√

z 1 − z + 1

z + 1 √2

= π 1 +

dt = π z +

−

√

−

√

ln √

= π

√

− 1

−

√5 + 1 −

√2 + 1

√

(√

− 1)(√

+ 1)

= π

−

(√5 + 1)(√2

−

(√

1)2(√

+ 1)2

= π √5 − √2 +

−

176

	√		1)(√		+ 1)	.
				2
= π √5 − √2 + ln		5 −		2
	(
			2
			2

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности x2 + (y − b)2 = a2 (b ≥ a) вокруг оси x (рис. 4.19).

y		y
		2
	t		R(y)
	t
b
	-1		8 x
R
	x		-1
	x
Рис. 4.19			Рис. 4.20

Используя параметрическое задание для окружности, x = a cos t, y = b + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, имеем по формуле (4.12)

	2π	(
		(
	Px = 2π y(t) x 2 (t) + y 2 (t) dt =
	0
= 2π	2π(b + a sin t)a dt = 2πa(bt − a cos t) 2π = 4π2ab.
		0
	0

4. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой

y3 = x (−1 ≤ x ≤ 8) вокруг оси y (рис. 4.20).

Вформуле (4.12) за новую переменную интегрирования возьмем y, −1 ≤ y ≤ 2. Тогда R = |x(y)| = |y3| и

2		(
		(	(y) + 1 dy =
Py = 2π	\|	x(y) x 2	(y) + 1 dy =
−1	\|	\|
−1

177

= 2π

0−

1 (−y3)

9y4 + 1

dy + 0

9y4 + 1

4 (9y4 + 1)

= 2π −4 (9y4 + 1)

d(y4) +

d(y4) =

−1

27 (9y4

+ 1)

3 0

= 2

−

+ 27

(9y4 + 1) 2

−

−1 + 10 2 + 145

− 1

10√10 + 145√145 − 2 .

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) вокруг прямой y = 2a

(рис. 4.21).

y
	y=2a
	R
0	2πa	x
	2πa
	Рис. 4.21

В данном случае
R = 2a − y(t) = a(1 + cos t), ds =	(
R = 2a − y(t) = a(1 + cos t), ds =	(	x	(t) + y	(t)	dt = 2a sin 2 dt.
	2		2			t

Тогда

(

P2a = 2π (2a − y(t)) x 2 (t) + y 2 (t) dt =

178

a(1 + cos t)2a sin 2 dt = 8πa2

cos2

2 sin

2 dt =

= 2π 0

= −16πa2

2π

cos2

2 d cos

2 = −

πa2 cos3

2π

3 πa2.

6. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой

r2 = a2 cos 2ϕ а) вокруг полярной оси; б) вокруг оси ϕ =

; в) вокруг

оси ϕ =

Прежде всего заметим, что

r(ϕ)

r2 (ϕ) + r

(ϕ) = a cos 2ϕ

a2 cos 2ϕ + a cos 2ϕ

(

= a2

cos 2ϕ

= a2.

cos 2ϕ

ϕ=−

ϕ=0

Рис. 4.22

а) Если в качестве новой переменной интегрирования в формуле (4.12) взять ϕ, то R = r(ϕ) sin ϕ (рис. 4.22 а)) и в силу симметрии фигуры вращения

(

Pϕ=0	= 2	2π	0	r(ϕ) sin ϕ	r2 (ϕ) + r	2 (ϕ) dϕ	=

179

			π
			4			√
		= 4πa2	0	sin ϕ dϕ = 2πa2(2 −
		= 4πa2	0	sin ϕ dϕ = 2πa2(2 −			2).
б) В данном случае R = r(ϕ) cos ϕ (рис. 4.22 б)) и
	π				π
	4	(			4	cos ϕ dϕ = 2πa2√
2	π	(		0
P π = 2π		r(ϕ) cos ϕ		r2 + r 2 dϕ = 4πa2				2	.
	−4

ϕ=−

ϕ=0

Рис. 4.23

Тогда

4 −

в) Из треугольника OAB

(рис. 4.23) следует R

= r(ϕ) sin

ϕ .

Pϕ= 4 = 2 2π π

r(ϕ) sin

4 − ϕ (

dϕ =

(ϕ) + r

(ϕ)

− 4

−

= 4πa2

−

sin

ϕ dϕ = 4π cos

= 4πa2.

− 4

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025386.05 Кб0mir_ek.doc
#
01.05.2025845.48 Кб0MKLI_Zadachi.rtf
#
27.03.20151.12 Mб42MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб29MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб112MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб28MMATHAN05.pdf
#
01.07.2025192.51 Кб0MODEM_L3.doc
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб4moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб3moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб14moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx