MMATHAN05

O

Рис. 4.4

Задание

Найти площади фигур, ограниченных кривыми.

1.y = 2x − x2, x + y = 0.

2.y = (x + 1)2, x = sin πy, y = 0 (0 ≤ y ≤ 1).

3.x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π).

4.x = 2t − t2, y = 2t2 − t3 (0 ≤ t ≤ 2).

5.x2 + y2 = 1. a2 b2

6.r = a sin 3ϕ.

7.(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2).

Решения

1. Требуется найти площадь фигуры, заключенной между параболой y = 2x − x2 и прямой x + y = 0 (рис. 4.5).

Полагаем в формуле (4.1) y2(x) = 2x − x2, y1(x) = −x. Для нахождения промежутка интегрирования решаем систему уравнений

−

161

π

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Тогда

2. При вычислении площади фигуры ABCDA (рис. 4.6), ограниченной кривыми y = (x + 1)2, x = sin πy, y = 0 (0 ≤ y ≤ 1), воспользуемся формулой (4.2), полагая в ней x2(y) = sin πy, x1(y) = −1+√y.

Тогда

=π1 + 1 − 23 + π1 = π2 + 13 .

3.Нужно найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой

162

циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1 −cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) и осью абсцисс (рис. 4.7).

π

2πa

По формуле (4.1) S = y(x) dx. После замены x = a(t − sin t),

0

0 ≤ t ≤ 2π, получаем y = y(x(t)) = a(1 − cos t) и

4. Площадь фигуры (рис. 4.8), ограниченной петлей параметрически заданной кривой x = 2t−t2, y = 2t2 −t3 (0 ≤ t ≤ 2), вычисляем

по формуле (4.4). Имеем

Рис. 4.9

x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, площадь фигуры, ограниченной эллипсом, удобно искать по формуле (4.3)

2π

S = 12 (a cos t b cos t − b sin t(−a sin t)) dt =

x

6. Найдем площадь фигуры (рис. 4.10), ограниченной кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = a sin 3ϕ (a > 0).

164

По формуле (4.6) имеем

Перейдем к полярным координатам, полагая x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Тогда

r4 = 2a2(cos2 ϕ − sin2 ϕ), r2 = 2a2 cos 2ϕ,

и уравнение лемнискаты принимает вид r = a√2 cos 2ϕ , а искомая площадь равна

Задачи для самостоятельной работы

Найти площади фигур на плоскости, ограниченных кривыми.

1.ax = y2, ay = x2.

2.y = x2, x + y = 2.

3. y = | lg x|, y = 0, x = 0,1, x = 10.

4.y = 2x, y = 2, x − 0.

5.y = x, y = x + sin2 x (0 ≤ x ≤ π).

a3

6. y = x2 + a2 , y = 0.

165

7.y2 = x2(a2 − x2).

8.x = a(2 cos t − cos 2t), y = a(2 sin t − sin 2t).

9.r = a(1 + cos ϕ) (кардиоида).

10.(x2 + y2)2 = 2a2xy (лемниската).

Ответы

Занятие 2. Вычисление длин плоских кривых

Длина L кривой, соединяющей точки A и B, может быть вычислена по очевидной формуле

Если гладкая кривая задана параметрически

то длина дуги s представляет функцию s = s(t), s(t0) = 0, s(T ) = L, а дифференциал дуги ds равен

(

ds = x 2 (t) + y 2 (t) dt.

166

Производя в формуле (4.7) замену переменной s = s(t), получаем, что длина гладкой кривой, заданной параметрически равна

t0

Если кривая задана в явном виде y = y(x), a ≤ x ≤ b, то взяв в качестве параметра t = x получаем в этом случае, что

(

ds = 1 + y 2 (x) dx, и формула (4.8) принимает вид

a

Если кривая задана уравнением x = x(y), c ≤ y ≤ d, то полагая в

(

(4.8) t = y, получаем ds = x 2 + 1 dy, и

c

Наконец, случай полярного задания кривой r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, также приходим к параметрическому заданию

x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β.

В этом случае

(

ds = x 2 (ϕ) + y 2 (ϕ) dϕ =

= (r cos ϕ − r sin ϕ)2 + (r sin ϕ + r cos ϕ)2 dϕ =

(

=r2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) + r 2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) dϕ =

(

=r2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ

и

Задание

Найти длины дуг следующих кривых:

1.y = a ch xa от точки A(0, a) до точки B(b, h).

2.y = ex, (0 ≤ x ≤ x0).

6.r = a(1 + cos ϕ) (кардиоида).

7.r = a emϕ (m > 0) при 0 < r < a.

Решения

По формуле (4.9) имеем

2. Найти длину дуги кривой y = ex, (0 ≤ x ≤ x0) (рис. 4.14).

По формуле (4.9) имеем

x0

Тогда

√√

169