4. Эффекты в нелинейных динамических системах

4.1.Динамика электрической схемы

снеоновой лампой

4.1.1.Модель

Следуя [2], рассмотрим электрическую схему с неоновой лампой (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Эта схема состоит из колебательного контура (конденсатор C, резистор R и источник постоянного тока с ЭДС E = const ) и неоновой лампы, включенной параллельно конденсатору. Если неоновая лампа пропускает ток, то газ, наполняющий ее, находится в ионизированном состоянии и светится – лампа горит; если она не пропускает ток, то не горит. Неоновую лампу можно считать нелинейным сопротивлением, у которого зависимость между током (силой тока) i и напряжением u (вольт-амперная характеристика) выражается функцией i = f (u) . График этой функции

представлен на рис. 4.2.

87

i

u uг uз

Рис. 4.2

Особенностью функции i = f (u) является ее гистерезисный

(запаздывающий) характер: если лампа не горела ( i = 0 ), то при увеличении напряжения u она загорается (сила тока меняется скачком от нуля до некоторого положительного значения) только при переходе u через некоторое пороговое значение uз (напряжение зажигания); если же лампа горела, то при уменьшении u она погаснет (ток падает скачком до нуля) только при переходе u через другое пороговое значение uг (напряжение гашения), где u г< u з . Поэтому на интервале u г< u < u з функция i = f (u) дву-

значная, и ее значение зависит не только от текущего значения u, но и от предыстории изменения u.

Применяя законы Кирхгофа для токов и учитывая, что i = q& , где q – заряд на конденсаторе, имеем систему уравнений:

i1 = i + q&, Ri1 + u = E , i = f (u) .

Исключая из этой системы i1, i и q, получим уравнение для u:

Это уравнение не определяет динамическую систему (а переменная u не является состоянием динамической системы), так как

88

на интервале u г< u < u з правая часть уравнения не определена из-за двузначности функции f (u) . Поэтому для полного описа-

ния динамики системы нужно, кроме переменной u, ввести логическую переменную («флажок») æ (каппа) (индикатор горения

ние æ скачком изменяется с 0 на 1, а при переходе u в сторону уменьшения через значение u = u г – с 1 на 0. Состоянием (фазовыми переменными) динамической системы является вектор (u, æ) .

В зависимости от значения параметров E, R и C может быть 4 варианта фазового портрета данной динамической системы:

1)При любых начальных условиях лампа обязательно загорится и далее будет гореть (единственное глобально устойчивое

состояние равновесия при æ =1).

2)При любых начальных условиях лампа обязательно погаснет и больше не загорится (единственное глобально устойчивое

состояние равновесия при æ = 0).

3)При любых начальных условиях лампа будет мигать (глобально устойчивые автоколебания).

4)Существуют два устойчивых состояния равновесия, в одном из которых лампа горит, а в другом – не горит. Траектория системы приходит в одно из этих состояний равновесия в зависимости от начальных условий. Если под действием некоторых флуктуаций (случайных электрических импульсов) начальное напряжение на лампе изменится скачком, то система может перейти по фазовой траектории в другое состояние равновесия. Такое поведение системы аналогично поведению электрической схемы, называемой триггером. Поэтому данный сценарий поведения системы можно назвать триггерным режимом.

4.1.2.Реализация в AnyLogic

Работа реализована в файле Part3\neon.alp (рис. 4.3). В окне анимации выведены уравнения модели, осциллограмма из-

89

менения u (t) , а также анимация прохождения токов и зарядов через систему.

Рис. 4.3

На конденсаторе яркость цветов пластин показывает величину (модуль) заряда, а красный и синий цвета – полярность заряда (при изменении полярности цвета пластин меняются местами). Если ток через лампу идет, то ее внутренность подсвечивается красным цветом (имитация газового разряда), а если не идет, то внутренность лампы обесцвечивается (газовый разряд прекращается). На отдельной фазовой плоскости (u, i) по фазовым траек-

ториям движется точка. Текущее значение æ показывает выбранная радиокнопка из группы радиокнопок «kappa».

Кроме того, имеется бифуркационная диаграмма на плоскости параметров (E, R).

С помощью бегунков можно изменять параметры системы, а также значения напряжений зажигания и гашения и начальные условия для u и æ.

90