2.Простые математические модели сложных динамических систем
2.1.Модель динамики уровня зеркала водохранилища с гидростанцией
2.1.1.Модель
Динамическая модель, описывающая процесс изменения уровня воды в водохранилище с плотиной и гидростанцией (гидротурбина с электрогенератором) (рис. 2.1), имеет вид:
|
dH |
|
|
S (H) |
Q − |
||
|
= |
||
dt |
|||
|
|
||
|
|
Q − |
I (H) − F (H) − |
W |
(H > 0), |
kρg(H + h) |
I (H) − F (H) |
(H < 0). |
(2.1) |
|
Рис. 2.1
Здесь:
H – уровень воды в водохранилище (отсчитывается от точки входа воды из водохранилища в трубопровод, соединяющий водохранилище с гидротурбиной);
S (H) – площадь поверхности зеркала водохранилища (в
простейшем случае – монотонно возрастающая или неубывающая функция от H);
57
I (H) и F (H) – интенсивности (объемные скорости) испаре-
ния и фильтрации соответственно (монотонно возрастающие функции от H);
Q – интенсивность (объемная скорость) притока воды в водохранилище извне, например из рек или с дождями (в простейшем случае – константа, в общем случае – функция времени);
W – мощность электроэнергии, которую требуется вырабатывать;
k – коэффициент полезного действия гидротурбины вместе с электрогенератором;
ρ – плотность воды;
g– ускорение свободного падения;
h– высота точки отсчета величины H относительно гидро-
турбины (перепад уровня воды перед гидротурбиной равен
H + h).
Составная правая часть уравнения (2.1) связана с тем, что при опускании уровня воды ниже точки входа в трубопровод ( H < 0 )
W
вода не поступает на гидротурбину и слагаемое kρg(H + h) (ин-
тенсивность расхода воды на вращение турбины) исчезает.
В уравнение (2.1) со знаком «плюс» входит постоянная (не
зависящая от H) величина |
|
F1 (H) ≡ Q , а со знаком «минус» — |
||||||
функция |
|
|
|
|
W |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
I (H) |
+ F (H) + |
|
|
(H > 0), |
|||
F2 (H) = |
kρg(H + h) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ F (H) |
|
|
(H < 0). |
|||
|
I (H) |
|
|
|||||
Таким образом, уравнение (2.1) можно переписать в виде: |
||||||||
|
S (H) |
dH |
= F (H) − F (H) . |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
dt |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Естественно считать, что функции I (H) и F (H) монотонно |
||||||||
возрастают с ростом H. Изобразим на одном рисунке графики |
||||||||
функций F1 (H) и |
F2 (H) |
и проведем при различных фиксиро- |
||||||
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ванных значениях H вертикальные стрелки от графика F2 (H) к графику F1 (H) , направление которых показывает, какой знак имеет производная dH / dt при различных значениях H (вверх — положительная, вниз — отрицательная).
Q
Q
Q
|
|
|
|
|
-H1 H=0 |
H1* |
H2* |
||
|
Рис. 2.2
Стрелки на оси H на рис. 2.2 показывают направление изменения H во времени (фазовые траектории уравнения (2.1)). Из рисунка видно, что данная динамическая система имеет два ус-
тойчивых состояния равновесия: H = 0 и H = H2* > 0 , между ко-
торыми находится неустойчивое состояние равновесия H = H1* .
(Отметим, что точка H = 0 является, по сути, не состоянием равновесия, а разновидностью «скользящего режима», возникающего из-за конечного разрыва величины dH / dt в силу уравнения
(2.1) в |
точке H = 0 , когда при H → −0 и H → +0 величина |
dH / dt |
стремится к ненулевым значениям разных знаков.) При |
этом в состоянии равновесия H = 0 гидростанция вырабатывает не полную требуемую мощность W, а только ее часть, равную величине kρgh (т.е. kρg(H + h) приH = 0 ), которая меньше, чем
W. В состоянии же равновесия H = H2* полностью вырабатывает-
59
ся требуемая мощность W. Таким образом, равновесие H = H2*
является желательным режимом работы гидростанции, а H = 0
— нежелательным.
Из рис. 2.2 видно, что во избежание прихода траектории в нежелательный режим H = 0 нельзя допускать, чтобы величина притока воды Q оказалась меньше некоторого критического уровня Q , при котором график функции F1 (H) ≡ Q касается
графика функции F2 (H) . Напротив, если величина Q превзойдет другое пороговое значение Q = F2 (0) , то состояние равновесия
H = H2* будет глобально асимптотически устойчивым, т.е. при
любом начальном уровне воды в водохранилище гидростанция гарантированно войдет в желательный режим работы (область
значений Q > Q можно назвать поэтому зоной безопасности).
2.1.2. Реализация в AnyLogic
Работа реализована в файле Part1\electrostation.alp
(рис. 2.3). В окне анимации можно наблюдать фазовый портрет на луче H ≥ 0 на фоне графика правой части уравнения (2.1), а также осциллограмму H (t) и картинку водохранилища с вра-
щающейся турбиной гидростанции (уровень воды в водохранилище и скорость вращения турбины связаны с величиной H). Профиль дна выбран в виде определенной функции, качественно удовлетворяющей свойствам поверхности зеркала реальных водохранилищ. С помощью бегунков пользователь может изменять начальные условия (бегунок под фазовым портретом) и параметры системы.
2.1.3. Задания для эксперимента
1. Изменяя начальные условия, приведите систему (точку на фазовом портрете) в желательный режим работы гидростанции. Какими для этого должны быть начальные условия?
60