optBook1

называется столбцовой симплекс-таблицей, соответствующей перестановке N .

Замечание 2.39. Пусть Q = (qij) — (строчечная) симплекс-таблица, соответствующая базе B. Этой симплекс-таблице соответствует упрощенная система уравнений (25), (26). Легко видеть, что связь элементов tij и qij определяется формулами:

В частности, компоненты текущего базисного решения записаны в нулевом столбце таблицы T , а коэффициенты целевой функции, соответствующие небазисным переменным, — в нулевой строке. Значение целевой функции на текущем базисном решении равно t00.

Определение 2.40. Столбцовая симплекс-таблица T = (tij) называется (прямо) допустимой, если ti0 ¸ 0 (i = 1; 2; : : : ; n).

Найдем закон изменения коэффициентов tij при переходе от текущей базы к соседней. Пусть нужно ввести в базу ks 2 N и вывести из базы r 2= N .

Рассмотрим (44) для i = r. Выражая xks , получим:

Мы видим, что при переходе от текущей базы к соседней столбцы таблицы T пересчитываются по следующим правилам: s-ый столбец делится на ¡trs, а из остальных столбцов вычитается r-ый, умноженный на такой коэффициент, чтобы в r-ой строке получились нули.

Дадим пошаговое описание столбцовой формы прямого симплексметода.

Алгоритм 2. [Прямой симплекс-метод в столбцовой форме.]

Шаг 0. Начать с допустимой базы B. Пусть N = hk1; : : : ; kn¡mi — некоторая перестановка номеров небазисных переменных, а T

— соответствующая столбцовая симплекс-таблица.

Шаг 1. Если t0j ¸ 0 (j = 1; 2; : : : ; n ¡ m), конец. Текущее базисное решение оптимально. Иначе выбрать такое s, что t0s < 0.

Шаг 2. Если tis · 0 (i = 1; 2; : : : ; n), конец. Значение целевой функции не ограничено. Иначе выбрать такое r, что

Шаг 3. (Шаг гауссова преобразования.) Поделить s-ый столбец матрицы

Q на ¡trs. Для каждого j 2 f0; 1; : : : ; n ¡ mg n fsg вычесть из j-го столбца s-ый, умноженный на trj.

Шаг 4. В N = hk1; : : : ; kn¡mi в качестве ks взять r. Вернуться на шаг 1.

Определение 2.41. Столбец s, строка r и элемент trs в алгоритме 2 называются направляющими.

Пример 2.42. Решим столбцовым симплекс-методом задачу из примера

Перестановки номеров небазисных переменных следующие: N (0) = h1; 2i, N (1) = h3; 2i, N (2) = h3; 4i, Таблица T (2) оптимальна. Оптимальный вектор: xb = (2; 2; 0; 0)>. Значение целевой функции равно xb0 = 4.

Правило Бленда, заключающееся в использовании критериев, сформулированных в замечании 2.25, очевидно, предотвращает от зацикливания и в столбцовом симплекс-методе. Легко видеть, что в этой форме симплекс-метода оно заключается в выборе такого s, для которого t0s < 0 и ks минимально, и в выборе такого r, на котором достигается минимум

и r минимально.

Обратимся к вопросу, когда выгоднее применять симплекс-метод в столбцовой форме, а когда в строчечной. Для представления строчечной симплекс-таблицы необходимо хранить (и, следовательно, на каждой итерации пересчитывать) (m+1)(n+1) элементов, а для представления столбцовой симплекс-таблицы необходимо хранить (n+1)(n¡m+1) элементов. Сравнивая эти величины, получаем, что если 2m < n, то выгоднее применять строчечный симплекс-метод, а если 2m > n — столбцовый.

2.8. Замечания о сложности решения ЗЛП

Симплекс-метод широко используется и хорошо работает на практике: многочисленные эксперименты подтверждают почти линейную по числу переменных оценку числа итераций. Однако можно показать, что на специальных примерах симплекс-метод (при некотором правиле выбора направляющего столбца и направляющей строки) работает экспоненциально долго. Первыми такой пример предложили Кли11 и Минти12 в 1972 г.

Кли и Минти рассмотрели задачу

max(2n¡1x1 + 2n¡2x2 + 2xn¡1 + xn)

которую можно привести к каноническому виду путем добавления к левой части каждого уравнения переменных y1; y2; : : : ; yn соответственно. Если в качестве начальной базы выбрать столбцы, соответствующие этим новым переменным, то симплекс-метод с правилом выбора направляющего столбца ®2 (см. стр. 39) и произвольным выбором направляющей строки13 выполнит 2n ¡ 1 итераций. Примеры ЗЛП, на которых симплекс-метод тратит экспоненциальное число итераций, предложены и для других правил выбора направляющей строки и направляющего столбца, в том числе для правила Бленда. Эти примеры, как и (45), получены в результате деформации n-мерного куба (гиперкуба) 0 · xj · 1 (j = 1; : : : ; n), заставляющей симплекс-метод проглядеть «глобально хорошие» пути. Тем не менее, вопрос о существовании правила, делающего симплекс-метод полиномиальным, остается открытым.

Упражнение 2.43. Показать, что симплекс-метод с правилом выбора направляющего столбца ®2 при n = 3 решает задачу (45) за 7 итераций.

Покажите, что для любого n симплекс-метод с правилом выбора направляющего столбца ®3 решает задачу (45) за одну итерацию.

С другой стороны, алгоритмы, решающие ЗЛП за полиномиальное время существуют и, следовательно, ЗЛП принадлежит классу P . Вопрос о существовании полиномиального алгоритма для задачи линейного программирования был решен в 1979 г. Л. Г. Хачияном14. Для решения ЗЛП он использовал метод эллипсоидов, разработанный для задач нелиней-

13Так как задача (45) невырождена, то номер направляющей строки определяется однозначно.

14Леонид Генрихович Хачиян — российский математик; премия Фалкерсона, 1982, совместно с Д. Б. Юдиным и А. С. Немировским.

ного программирования Н. З. Шором15, Д. Б. Юдиным16 и А. С. Немировским17.

Кратко остановимся на алгоритме Хачияна. Пусть D — положительно

определённая симметричная матрица и z — точка в Rn. Тогда множество E = M(z; D) = ©x : (x ¡ z)>D(x ¡ z) · 1ª задаёт эллипсоид с центром в

точке z.

Пусть полиэдр P содержится в E. Покажем, как можно решить задачу об установлении непустоты полиэра P и, в случае P 6= 0/, нахождении точки, принадлежащей P . Если z не удовлетворяет какому-то из линейных неравенств ax · ®, описывающих P , то P µ E0, где E0 — эллипсоид минимального объёма, содержащий fx : ax · azg [E. Для E0 центр z0 и положительно определённая матрица D0 находятся достаточно просто, и процедуру можно повторять до тех пор, пока центр очередного эллипсоида не будет пренадлежать P . Существенными моментами в алгоритме являются следующие:

1)отношение объёмов E0 и E меньше величины e¡ 12 (n+1),

2)есть величина º, полиномиально зависящая от длины входной информации, показывающая, что если объём очередного эллипсоида стал меньше º, то P = 0/ или его размерность меньше n.

Хачияну на пути к его результату пришлось преодолеть ещё ряд препятствий, главное из которых, по-видимому, состояло в необходимости рациональной аппроксимации полиэдра E0, сохраняющей свойства 1) и 2). Другие проблемы (переход к оптимизации, неограниченные области, полиэдры не полной размерности и пр.) не столь принципиальны. Можно показать, что если элементы (m; n)-матрицы A и компоненты столбца b

— целые числа, не превосходящие по модулю ®, то для нахождения рационального решения (или доказательства его отсутсвия) системы Ax · b алгоритмом Хачияна достаточно выполнить O(mn8 log2(®n)) арифметических (битовых) операций. Таким образом, задачу определения совместности системы линейных неравенств можно решить за полиномиальное время. Доказано, что эта задача полиномиально эквивалентна задаче линейного программирования.

15Наум Зуселевич Шор (род. 1937) — украинский математик

16Д. Б. Юдин — российский математик.

17Аркадий Семенович Немировский (род. 1947) — российский математик

:3x1 + x3 + 1=2 x5 ¡ 90x6 ¡ 1=50 x7 = 0;

x4 + x7 = 1:

Проверить, что симплекс-метод с критериями выбора направляющего столбца ®1 и ®2 и критерием выбора направляющей строки ¯1 (см. стр. 39) приводит на этой задаче к зацикливанию, а критерий ®3 вместе с критерием ¯1 — нет.

2.4.Привести к каноническому виду и найти начальный опорный план в ЗЛП с ограничениями Ax · b, x ¸ 0, где b ¸ 0.

2.5.Пусть столбцы aj1 ; : : : ; ajm матрицы A линейно независимы. Показать, что для нахождения начальной допустимой базы в (24) достаточно не более одной искусственной переменной. Указание: ввести вектор an+1 = ¡aj1 ¡ : : : ¡ ajm .

2.6.Показать, что для нахождения начальной допустимой базы в ЗЛП с ограничениями Ax · b, x ¸ 0, где b ¸ 0, достаточно не более

Заметим, что каждому j 2 N1 [ N2 соответствуют переменная xj в ЗЛП (46) и некоторое ограничение в виде уравнения или неравенства в ЗЛП (47). Будем говорить, что эти переменная и ограничение соответствуют друг другу. С другой стороны, каждому i 2 M1 [M2 соответствуют переменная ui в ЗЛП (47) и некоторое ограничение в виде уравнения или неравенства в ЗЛП (46). Также будем говорить, что эти переменная и ограничение соответствуют друг другу.

Определение 3.1. Задача (47) называется двойственной к задаче (46), при этом задача (46) называется прямой задачей. И, наоборот, задача (46) называется двойственной к задаче (47), при этом задача (47) называется прямой задачей.

Запишем задачи (46), (47) в матричной форме. Для этого введем в

векторы-столбцы

и матрицы A¹º (¹ = 1; 2; º = 1; 2), составленные из элементов aij, где i 2 M¹, j 2 Nº. Теперь задачи (46), (47) можно записать в виде:

В силу приведенного определения, двойственной к канонической ЗЛП